图的亏格

图 的亏格 是必须添加到平面上的最小手柄数，以便在没有任何交叉的情况下嵌入该图。亏格为 0 的图可以嵌入到平面中，并且被称为平面图。下表总结了具有特定亏格值的图类的名称（参见 West 2000, p. 266）。

	类
0	平面图
1	环面图
2	双环面图
3	椒盐卷饼图

每个图都有一个亏格 (White 2001, p. 53)。

最小的双环面图有 8 个顶点，并且恰好有 15 个 8 节点的双环面图。

没有顶点数少于或等于 8 的椒盐卷饼图。

令 为亏格为 的曲面。那么，如果 对于 ，则 在 中有一个嵌入，但不在 中，对于 。此外， 嵌入在 中，对于所有 ，这可以通过向 在 中的嵌入添加 个手柄来看到（White 2001, p. 52）。

图 的亏格满足

(1)

其中 是 的边数（White 2001, p. 53）。

不连通图的亏格是其连通分量的亏格之和 (Battle et al. 1962, White 2001, p. 55)，而连通图的亏格是其块的亏格之和 (Battle et al. 1962; White 2001, p. 55; Stahl 1978)。

根据 Battle et al. (1962) 的结果， 个 的不相交并集（或 个 的不相交并集）是亏格为 的图的禁用次子式。类似地， 个 或 ，使得某些共享一个顶点并且其块是 或 ，是亏格为 的图的禁用次子式。

Duke 和 Haggard (1972; Harary et al. 1973) 给出了所有顶点数少于或等于 8 的图的亏格的判据。定义双环面图

			(2)
			(3)
			(4)

其中 表示 减去 的边。那么对于 的任何子图

1. 如果 不包含库拉托夫斯基图（即， 或 ），则

2. 如果 包含库拉托夫斯基图（即，是非平面图），但不包含任何 ，对于 ，则

3. 如果 包含任何 ，对于 ，则

完全图 的亏格为

(5)

对于 ，其中 是向上取整函数（Ringel 和 Youngs 1968；Harary 1994, p. 118）。对于 , 2, ... 的值分别为 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ... (OEIS A000933)。

完全二分图 的亏格为

(6)

（Ringel 1965；Beineke 和 Harary 1965；Harary 1994, p. 119）。

超立方体 的亏格为

(7)

（Ringel 1955；Beineke 和 Harary 1965；Harary et al. 1988；Harary 1994, p. 119）。对于 , 2, ... 的值分别为 0, 0, 0, 1, 5, 17, 49, 129, ... (OEIS A000337)。