对偶图

给定一个平面图 及其特定的平面嵌入，可以定义几何对偶图和组合对偶图。 Whitney (1932) 证明了对于平面图而言，它们是等价的（Fleischner 1973, Harary 1994. p. 115），因此人们可以说“该”对偶图 。 上图展示了从平面非多面体图构造几何对偶图的过程，结果为一个多重图。

虽然一些非多面体平面图具有唯一的对偶图，但一般的平面图根据平面嵌入的选择，可能具有多个对偶图。一个平面图具有唯一的嵌入（因此被称为唯一可嵌入的），并且因此具有唯一的对偶图，当且仅当它是多面体图的图细分。完全二部图 是一个平面非多面体图的例子，其所有嵌入都是同构的，这意味着它的对偶图也是同构的，并且它是唯一可嵌入的。

另一方面，多面体图具有唯一的对偶图。 多面体图 的对偶图 具有图顶点，每个顶点对应于 的一个面，并且其每个面对应于 的一个图顶点。 中的两个节点通过图边连接，如果 中对应的面具有共同的边界图边。 因此，图 的每条边都有一条对应的对偶边 在 中，对应于连接 两侧面的边，这意味着边计数是相同的。 结合面和顶点角色的互换，这给出了以下关系

			(1)
			(2)
			(3)

在对偶和原始图的边、面和顶点计数之间。 它们当然也满足多面体公式

			(4)
			(5)

轮图的对偶图本身也是一个轮图（Skiena 1990, p. 147）。 一般来说，与其自身对偶的图称为自对偶图。

对偶性的概念可以推广到平面以外的嵌入，因此也推广到非平面图。 这与双覆盖的概念密切相关。

命名图的图对偶在 Wolfram 语言 中实现为GraphData[graph,"DualGraph"].

图 的对偶图 的Tutte 多项式由下式给出

(6)

即，通过交换原始图的Tutte 多项式的变量。