连串

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连串是指一个多于一个连续相同结果的序列，也称为聚集。

设为在次独立抛掷硬币（即，次伯努利试验）中出现次或更多连续正面的概率。这等同于从一个装有两个可区分物体的瓮中重复抽取，每次抽取后放回。设获得正面的概率为。那么，关于有一个漂亮的公式，以生成函数的系数给出

(1)

（Feller 1968，第 300 页）。那么

(2)

下表给出了数字三角形，对于、2、... 和、2、...、 (OEIS A050227)。

Sloane	A000225	A008466	A050231	A050233
$n\r$	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	3	1	0	0	0	0	0	0
3	7	3	1	0	0	0	0	0
4	15	8	3	1	0	0	0	0
5	31	19	8	3	1	0	0	0
6	63	43	20	8	3	1	0	0
7	127	94	47	20	8	3	1	0
8	255	201	107	48	20	8	3	1

特殊情况给出了序列

(3)

其中是一个斐波那契数。类似地，在次抛掷中不出现次连续反面的概率由给出，其中是一个斐波那契 k 步数。

Feller（1968，第 278-279 页）证明了对于，

(4)

其中

			(5)
			(6)

（OEIS A086253）是上述多项式的正根，并且

			(7)
			(8)
			(9)

（OEIS A086254）是上述多项式的正根。对于次正面连串，相应的常数是，即

(10)

和

(11)

对于和的不公平硬币，这些常数被修改为，即

(12)

和

(13)

（Feller 1968，第 322-325 页）。

给定次伯努利试验，成功的概率（正面）为，则反面的期望数为，因此反面连串的期望数为。继续，

(14)

是连串的期望数。因此，最长的期望连串由下式给出

(15)

（Gordon et al. 1986，Schilling 1990）。给定个 0 和个 1，具有个连串的可能排列数为

$f_u={2(m-1; k-1)(n-1; k-1) u=2k; (m-1; k)(n-1; k-1)+(m-1; k-1)(n-1; k) u=2k+1$

(16)

对于为整数，其中是一个二项式系数（Johnson 和 Kotz 1968，第 268 页）。那么

P(u<=u^')=sum_(u=2)^(u^')(f_u)/((m+n; m)).

(17)

现在考虑从包含个一种类型的不可区分物体和个另一种类型的不可区分物体的个物体的集合中不放回地抽取个物体。设表示这些物体的排列数，其中没有连串出现。例如，类型的两个物体和类型的两个物体有 6 种排列。在这些排列中，、、和包含长度为 2 的连串，因此。一般来说，连串确实发生的概率由下式给出

(18)

其中是一个二项式系数。Bloom（1996）给出了的以下递推序列，

(19)

其中当或为负数时，，并且

e(r;m,k)={1 if m=0 and 0<=k<r; -1 if m=r and 0<=k<r; 0 otherwise.

(20)

另一个只有固定项数的递推式由下式给出

(21)

其中

$e_r^*(m,k)={1 if (m,k)=(0,0) or (r,r); -1 if (m,k)=(0,r) or (r,0); 0 otherwise$

(22)

（Goulden 和 Jackson 1983，Bloom 1996）。

这些公式可用于计算一副 52 张牌的牌组中获得张相同颜色牌的连串的概率。对于、2、...，这产生了序列 1, 247959266474051/247959266474052, ... (OEIS A086439 和 A086440)。通过乘以进行归一化得到 495918532948104, 495918532948102, 495891608417946, 483007233529142, ... (OEIS A086438)。结果

(23)

反驳了 Gardner (1982) 的断言，即在普通牌组中“几乎总是会有六到七张相同颜色的牌聚集在一起”。

Bloom (1996) 给出了连串（即，将序列分成相同值的最大聚集，并计算长度的此类聚集的数量）在个 0 和个 1 的序列中的期望数，为

(24)

其中是递降阶乘。对于，近似服从正态分布，其均值和方差为

			(25)
			(26)

另请参见

牌, 抛硬币, 欧拉数, 超几何分布, 排列, 排列连串, s-连串

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更多尝试

参考文献

Bloom, D. M. "Probabilities of Clumps in a Binary Sequence (and How to Evaluate Them Without Knowing a Lot)." Math. Mag. 69, 366-372, 1996.Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Application, Vol. 1, 3rd ed. New York: Wiley, 1968.Finch, S. R. "Feller's Coin Tossing Constants." §5.11 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 339-342, 2003.Gardner, M. Aha! Gotcha: Paradoxes to Puzzle and Delight. New York: W. H. Freeman, p. 124, 1982.Godbole, A. P. "On Hypergeometric and Related Distributions of Order

." Commun. Stat.: Th. and Meth. 19, 1291-1301, 1990.Godbole, A. P. and Papastavridis, G. (Eds.). Runs and Patterns in Probability: Selected Papers. New York: Kluwer, 1994.Gordon, L.; Schilling, M. F.; and Waterman, M. S. "An Extreme Value Theory for Long Head Runs." Prob. Th. and Related Fields 72, 279-287, 1986.Goulden, I. P. and Jackson, D. M. Combinatorial Enumeration. New York: Wiley, 1983.Johnson, N. and Kotz, S. Discrete Distributions. New York: Wiley, 1968.Mood, A. M. "The Distribution Theory of Runs." Ann. Math. Statistics 11, 367-392, 1940.Philippou, A. N. and Makri, F. S. "Successes, Runs, and Longest Runs." Stat. Prob. Let. 4, 211-215, 1986.Schilling, M. F. "The Longest Run of Heads." Coll. Math. J. 21, 196-207, 1990.Schuster, E. F. In Runs and Patterns in Probability: Selected Papers (Ed. A. P. Godbole and S. Papastavridis). Boston, MA: Kluwer, pp. 91-111, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A000225/M2655, A008466, A050227, A050231, A050232, A050233, A086253, A086254, A086438, A086439, and A086440 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上被引用

连串

请引用为

Weisstein, Eric W. “连串”。来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Run.html