素数间隙

长度为 的素数间隙是指在两个连续素数之间存在 个连续的 合数。因此，两个连续素数 和 之间，长度为 的素数间隙的差为 ，其中 是第 个 素数。由于 素数差函数

(1)

始终是偶数（除了 ），所有素数间隙 也都是偶数。符号 通常用于表示与长度为 的素数间隙的起始位置相对应的最小素数 ，即，使得 是素数，、、...、 都是合数，并且 是素数（附加约束是，不存在满足这些性质的更小的数）。

最大素数间隙 是指起始于小于某个最大值 的素数 的最大素数间隙的长度。对于 , 2, ..., 的值由 4, 8, 20, 36, 72, 114, 154, 220, 282, 354, 464, 540, 674, 804, 906, 1132, ... (OEIS A053303) 给出。

任意大的素数间隙都存在。例如，对于任何 ，数字 , , ..., 都是合数 (Havil 2003, p. 170)。然而，对于确定首次出现和最大素数间隙，除了穷举搜索之外，没有已知的更复杂的一般方法 (Nicely 1999)。

Cramér (1937) 和 Shanks (1964) 推测：

(2)

Wolf 推测了一个稍微不同的形式：

(3)

这与数值证据更吻合。

Wolf 推测，小于 的两个连续素数之间的最大间隙 大约出现在：

(4)

其中 是 素数计数函数， 是 孪生素数常数。设置 对于大的 ，简化为 Cramér 的猜想：

(5)

已知在 之后存在长度为 803 的素数间隙，在 之后存在长度为 的素数间隙 (Baugh and O'Hara 1992)。H. Dubner (2001) 发现了一个长度为 的素数间隙，位于两个 3396 位 可能素数 之间。2004 年 1 月 15 日，J. K. Andersen 和 H. Rosenthal 发现了一个长度为 的素数间隙，位于两个各有 位的概率素数之间。在 2004 年 1 月至 5 月，Hans Rosenthal 和 Jens Kruse Andersen 发现了一个长度为 的素数间隙，位于两个各有 位的概率素数之间 (Anderson 2004)。

素数间隙的优值将间隙的大小与局部平均间隙进行比较，由 给出。1999 年，发现了数字 1693182318746371，其优值为 。这一记录优值一直保持到 2005 年，当时发现了 804212830686677669，间隙为 1442，优值为 。Andersen 维护着一个前 20 个已知优值的列表。优值递增的素数间隙为 2, 3, 7, 113, 1129, 1327, 19609, ... (OEIS A111870)。

Young 和 Potler (1989) 确定了直到 的素数间隙的首次出现，所有首次出现都在 1 到 673 之间找到。Nicely (1999) 扩展了最大素数间隙的列表。下表给出了小 的 值，省略了作为更大 运行的一部分的退化运行 (OEIS A005250 和 A002386)。

1	2	354
2	3	382
4	7	384
6	23	394
8	89	456
14	113	464
18	523	468
20	887	474
22		486
34		490
36		500
44		514
52		516
72		532
86		534
96		540
112		582
114		588
118		602
132		652
148		674
154		716
180		766
210		778
220		804
222		806
234		906
248		916
250		924
282
288
292
320
336

定义

(6)

为第 个素数差与第 个素数的 自然对数 的比率的 下确界极限。如果存在无限多的 孪生素数，则 。这是因为那时必须为真 无限次，例如在 对于 , 2, ...，因此 孪生素数猜想 成立的 必要 条件是：

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

然而，这个条件不是 充分 的，因为如果将 2 替换为任何常数，则相同的证明也适用。

Hardy 和 Littlewood 在 1926 年证明，在 广义黎曼猜想 为真的前提下，。Rankin 随后将其改进为 （同样假设广义黎曼猜想）。1940 年，Erdős 首次在没有假设的情况下使用筛法证明 。随后，这个值被改进为 15/16 (Ricci), (Bombieri and Davenport 1966), 和 (Pil'Tai 1972)，引自 Le Lionnais (1983, p. 26)。Huxley (1973, 1977) 得到 ，Maier 在 1986 年将其改进为 ，这是 2003 年之前已知的最佳结果 (美国数学研究所)。

在 2003 年 3 月于德国奥伯沃尔法赫举行的关于初等和解析数论的会议上，Goldston 和 Yildirim 提出了一个试图证明 的证明。虽然最初的证明被证实是有缺陷的 (Mackenzie 2003ab)，但该结果现在已通过新的证明确立 (美国数学研究所 2005, Cipra 2005, Devlin 2005, Goldston et al. 2005ab)。