k-元组猜想

哈代-李特尔伍德猜想的第一个猜想。k-元组猜想指出，素数星座的渐近数量可以被明确地计算出来。 特别是，除非存在平凡的可除性条件阻止 , , ..., 无限次地由 素数 组成，否则这样的 素数星座 将以渐近密度出现，该渐近密度可以用 , ..., 计算。 设 ，则 k-元组猜想预测，使得 , , ..., 均为 素数 的素数 的数量为

(1)

其中

(2)

乘积是对 奇素数 取的，并且

(3)

表示 0, , ..., (mod ) 的不同余数的数量 (Halberstam and Richert 1974, Odlyzko 等人 1999)。 如果 ，则变为

(4)

这个猜想普遍被认为是正确的，但尚未被证明 (Odlyzko 等人 1999)。

孪生素数猜想

(5)

是 k-元组猜想在 时的特例，其中 被称为 孪生素数常数。

以下猜想的特殊情况有时被称为素数模式猜想。 设 为一个 有限 整数 集合。 那么猜想存在无限多个 ，使得 均为 素数，当且仅当 当且仅当 不包括任何 素数 的所有 余数。 这个猜想也暗示存在任意长的 素数算术级数。