素数算术级数

素数算术级数是一系列形如 of the form 的素数集合，其中 和 是固定的， 是连续的，即 。例如，199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 是一个公差为 210 的 10 项素数算术级数。

长期以来，人们一直推测存在任意长的 primes 素数算术级数序列 (Guy 1994)。早在 1770 年，拉格朗日和沃林就研究了 个素数算术级数的公差必须有多大。1923 年，哈代和小伍德 (1923) 提出了一个非常普遍的猜想，称为 k-元组猜想，关于 prime constellations 素数星座的分布，其中包括存在无限长的素数算术级数的假设，作为一个特例。范德科皮特 (1939) 随后取得了重要的理论进展，他证明了存在无限多组素数三元组算术级数，以及希思-布朗 (1981)，他证明了存在无限多组四项级数，由三个素数和一个素数或 semiprime 半素数组成。

然而，尽管付出了所有这些努力，但对于任意长的素数序列的一般结果的证明仍然是一个悬而未决的猜想 (Guy 1994, p. 15)。感谢本·格林和陶哲轩的新工作，这个猜想似乎终于得到了肯定的解决。在最近发表的预印本中，格林和陶 (2004) 使用一个重要的结果，称为 Szemerédi's theorem 塞迈雷迪定理，结合戈德斯通和伊尔迪里姆的最新工作、巧妙的“转移原理”以及 48 页密集且技术性的数学，显然确立了基本定理，即素数确实包含长度为 的算术级数，对于所有 (Weisstein 2004)。然而，该证明是 nonconstructive 非构造性的。

令 为一个递增的 个 primes 素数算术级数，最小公差为 。如果一个 prime 素数 不能整除 ，那么 的元素必须假设模 的所有余数，具体来说， 的某个元素必须可以被 整除。由于 仅包含素数，因此该元素必须等于 。

令形如 且小于 的素数个数表示为 。那么

(1)

其中 是 logarithmic integral 对数积分， 是 totient function 欧拉函数。

令 表示 的 primorial 素数阶乘。那么如果 ，则某些素数 不能整除 ，并且该素数 在 中。因此，为了确定 是否具有 ，仅需要检查有限数量的可能的 (那些具有 并且包含素数 的 ) 以查看它们是否仅包含素数。如果不是，则 。如果 ，则 的元素不能覆盖任何素数 的所有余数。然后 k-元组猜想 断言，存在无限多个公差为 的素数算术级数。

计算表明，对于 , 2, 3, ...，算术级数中包含 个或更多 primes 素数的集合的最小可能公差为 0, 1, 2, 6, 6, 30, 150, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030, 30030, 30030, 30030, 510510, ... (OEIS A033188, Ribenboim 1989, Dubner 和 Nelson 1997)。高达 的值是严格的，而其余值是下限，假设 k-元组猜想 的有效性，并且简单地由 给出。具有最小差异的 个素数算术级数的最小首项为 2, 2, 3, 5, 5, 7, 7, 199, 199, 199, 60858179, 147692845283, 14933623, 834172298383, ... (OEIS A033189; Wilson)。

对于非最小 项级数，更小的首项是可能的。示例包括 k=0, 1, ..., 7 的 8 项级数 ，k=0, 1, ..., 11 的 12 项级数 (Golubev 1969, Guy 1994)，以及 k=0, 1, ..., 12 的 13 项算术级数 (Guy 1994)。

下表总结了对于小 值，已知的最大 个素数算术级数，其中

(2)

	n=0, 1, ..., 的素数	位数	参考
3		137514	J. K. Anderson et al. (2007)
4		11961	K. Davis (2008)
5		6913	D. Broadhurst (2008)
6		1606	K. Davis (2006)
7		1290	K. Davis (2006)
8		1037	P. Underwood (2003)
9		401	M. Oakes (2006)

安德森维护了一个更完整的表格。

算术级数中最小的六个连续 primes 素数序列是

(3)

对于 , 1, ..., 5 (Lander 和 Parkin 1967, Dubner 和 Nelson 1997)。

已知最大的算术级数中三个连续素数的情况是 ，由 T. Alm, H. Rosenthal, J. K. Andersen 和 R. Ballinger 于 2003 年发现。

已知最大的算术级数中连续 primes 素数序列（即，级数中第一个和最后一个项之间的所有数字，除了成员本身之外，都是合数）是十个，由

(4)

对于 , 1, ..., 9 (OEIS A033290) 给出，由 Harvey Dubner, Tony Forbes, Manfred Toplic, et al. 于 1998 年 3 月 2 日发现。根据 Dubner et al., 的说法，计算机速度需要提高一万亿倍，才能实际搜索 11 个连续素数的序列，因此他们预计十个素数的记录将在很长一段时间内保持不变。

这打破了同一批研究人员于 1998 年 1 月 15 日创下的九个连续素数的记录，

(5)

对于 , 1, ..., 8 （现在已知两个九个序列），八个连续素数的级数由

(6)

对于 , 1, ..., 7 给出，由 Harvey Dubner, Tony Forbes, et al. 于 1997 年 11 月 7 日发现（现在已知几个），以及七个的级数由

(7)

对于 , 1, ..., 6 给出，由 H. Dubner 和 H. K. Nelson 于 1995 年 8 月 29 日发现 (Peterson 1995, Dubner 和 Nelson 1997)。