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素数四元组

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一个由四个连续素数组成的素数星座，具有最小距离 (p,p+2,p+6,p+8)。该术语由 Paul Stäckel (1892-1919; Tietze 1965, p. 19) 创造。四元组 (2, 3, 5, 7) 具有更小的最小距离，但这是一个特殊的例外情况。除了 (5, 7, 11, 13) 之外，素数四元组必须是 以下形式 (30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19)。给出素数四元组的前几个 n 值是 n=0, 3, 6, 27, 49, 62, 69, 108, 115, ... (OEIS A014561)，前几个 p 值是 5 (例外情况), 11, 101, 191, 821, 1481, 1871, 2081, 3251, 3461, ... (OEIS A007530)。最大成员小于 10^1, 10^2, ..., 的素数四元组的数量是 1, 2, 5, 12, 38, 166, 899, 4768, ... (OEIS A050258; Nicely 1999)。

素数四元组频率的渐近公式类似于其他素数星座的公式，

P_x(p,p+2,p+6,p+8)∼(27)/2product_(p>=5)(p^3(p-4))/((p-1)^4)int_2^x(dx)/((lnx)^4)
(1)
=4.151180864int_2^x(dx)/((lnx)^4),
(2)

其中 c=4.15118... (OEIS A061642) 是素数四元组的 Hardy-Littlewood 常数。

Roonguthai 发现了大的素数四元组，其

p=10^(99)+349781731
(3)
p=10^(199)+21156403891
(4)
p=10^(299)+140159459341
(5)
p=10^(399)+34993836001
(6)
p=10^(499)+883750143961
(7)
p=10^(599)+1394283756151
(8)
p=10^(699)+547634621251.
(9)

Forbes 发现了大的四元组，其

p=76912895956636885(2^(3279)-2^(1093))-6·2^(1093)-7.
(10)

参见

k-元组猜想, 素数等差数列, 素数星座, 素数三元组, 性感素数, 孪生素数

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参考文献

Hardy, G. H. and Wright, E. M. 数论导引，第五版 纽约: 牛津大学出版社, 1979.Forbes, T. "素数 k-元组。" http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktuplets.htm.Forbes, T. "大型素数四元组。" 1998 年 9 月 17 日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind9809&L=nmbrthry&P=992.Nicely, T. R. "素数四元组的计数到 1.6×10^(15)。" 提交至Math. Comput. http://www.trnicely.net/quads/quads.html.Rademacher, H. 初等数论讲义。 纽约: Blaisdell, 1964.Riesel, H. 素数与计算机分解方法，第二版。 波士顿, MA: Birkhäuser, pp. 61-62, 1994.Finch, S. R. "Hardy-Littlewood 常数。" §2.1 in 数学常数。 英国剑桥: 剑桥大学出版社, pp. 84-94, 2003.Sloane, N. J. A. 序列 A007530/M3816, A014561, A050258, 和 A061642 在 "整数序列在线百科全书" 中。Tietze, H. 数学名题：从古代到现代已解决和未解决的数学问题。 纽约: Graylock Press, p. 19, 1965.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

素数四元组

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "素数四元组。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/PrimeQuadruplet.html

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