有两个相关的猜想，都称为孪生素数猜想。第一个版本指出，存在无限多对孪生素数（Guy 1994，第 19 页）。目前尚不清楚是否存在无限多个这样的素数（Wells 1986，第 41 页；Shanks 1993，第 30 页），但这似乎几乎肯定是正确的。虽然 Hardy 和 Wright（1979，第 5 页）指出“当详细检查证据时，似乎证明了该猜想是合理的”，而 Shanks（1993，第 219 页）更强烈地表示“证据是压倒性的”，但 Hardy 和 Wright 也指出，此类猜想的证明或反证“目前超出了数学的能力范围”。
Arenstorf（2004）发表了一个据称证明该猜想的证明（Weisstein 2004）。不幸的是，在该证明中发现了一个严重的错误。因此，该论文被撤回，孪生素数猜想仍然完全开放。
关于存在无限多个索菲·热尔曼素数的猜想，即素数 
使得 
也是素数，这与孪生素数猜想非常密切相关（Shanks 1993，第 30 页）。
第二个孪生素数猜想指出，在计算以 
结尾的 Brun常数 时，添加一个与 
成比例的校正项，将给出误差小于 
的估计值。这个猜想的扩展形式，有时称为强孪生素数猜想（Shanks 1993，第 30 页）或第一个 Hardy-Littlewood 猜想，指出孪生素数 
小于或等于 
的数量 
渐近等于
 |
其中 
是所谓的孪生素数常数（Hardy 和 Littlewood 1923）。上面绘制了 
的值，适用于 
，其中蓝色表示 
，并且取 
。
这个猜想是更一般的 k-元组猜想（也称为第一个 Hardy-Littlewood 猜想）的一个特例，它对应于集合 
。
