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划分函数 P 同余

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划分函数 P(n) 的奇数值的比例大约为 50%，与 n 无关；而 Q(n) 的奇数值随着 n 变大而出现的频率越来越低。Kolberg (1959) 证明了 P(n) 有无穷多个偶数值和奇数值。

莱布尼茨注意到，当 n=2, 3, 4, 5, 6 时，P(n) 是素数，但当 n=7 时不是。事实上，使得 P(n) 为 素数 的 n 值有 2, 3, 4, 5, 6, 13, 36, 77, 132, 157, 168, 186, ... (OEIS A046063)，对应于 2, 3, 5, 7, 11, 101, 17977, 10619863, ... (OEIS A049575)。不能写成 P(n) 乘积的数字有 13, 17, 19, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 38, 39, ... (OEIS A046064)，对应于任何群阶都不可能的非同构 阿贝尔群 的数目。

拉马努金猜想了许多关于 P(n) 的令人惊叹和意想不到的 同余式。特别地，他证明了

P(5m+4)=0 (mod 5)
(1)

使用 拉马努金恒等式 (Darling 1919; Hardy and Wright 1979; Drost 1997; Hardy 1999, pp. 87-88; Hirschhorn 1999)。拉马努金 (1919) 也证明了

P(25m+24)=0 (mod 5^2),
(2)

并且 Krečmar (1933) 证明了

P(125m+99)=0 (mod 5^3).
(3)

Watson (1938) 随后证明了一般同余式

P(n)=0 (mod 5^a) if 24n=1 (mod 5^a)
(4)

(Gordon and Hughes 1981; Hardy 1999, p. 89)。对于 a=1, 2, ..., 对应的 n 的最小值是 4, 24, 99, 599, 2474, 14974, 61849, ... (OEIS A052463)。然而，更一般的同余式

P(125m+74,99,124)=0 (mod 5^3)
(5)
P(3125m+1849,2474,3099)=0 (mod 5^5)
(6)

似乎也成立。

拉马努金证明了

P(7m+5)=0 (mod 7)
(7)

(Darling 1919)，这可以使用 欧拉恒等式 和 雅可比三重积恒等式 推导出来 (Hardy 1999, pp. 87-88)，并且也证明了

P(49m+47)=0 (mod 7^2)
(8)

(Hardy 1999, p. 90)。他猜想一般情况下

P(n)=0 (mod 7^b) if 24n=1 (mod 7^b) [incorrect]
(9)

(Gordon and Hughes 1981, Hardy 1999)，尽管 Gupta (1936) 证明了当 b=3 时这是错误的。Watson (1938) 随后制定并证明了修正关系式

P(n)=0 (mod 7^b) if 24n=1 (mod 7^(2b-2))
(10)

对于 b>=2。对于 b=1, 2, ..., 对应的 n 的最小值是 0, 47, 2301, 112747, ... (OEIS A052464)。然而，更一般的同余式

P(49m+19,33,40,47)=0 (mod 7^2)
(11)

似乎成立。

拉马努金证明了

P(11m+6)=0 (mod 11)
(12)

成立 (Gordon and Hughes 1981; Hardy 1999, pp. 87-88)，并猜想一般关系式

P(n)=0 (mod 11^c) if 24n=1 (mod 11^c).
(13)

这最终由 Atkin (1967) 证明。对于 c=1, 2, ..., 对应的 n 的最小值是 6, 116, 721, 14031, ... (OEIS A052465)。

Atkin 和 O'Brien (1967) 证明了

P(169n-7)=kappa_dP(n) (mod 13^d) if 24n=1 (mod 13^d),
(14)

其中 kappa_d 是一个仅取决于 d 的整数 (Gordon and Hughes 1981)。对于 d=1, 2, ..., 对应的 n 的最小值是 6, 162, 1007, 27371, ... (OEIS A052466)。

Subbarao (1966) 猜想，在每个 等差数列 r (mod t) 中，有无穷多个整数 N=r (mod t) 使得 P(N) 为 偶数，并且有无穷多个整数 M=r (mod t) 使得 P(M) 为 奇数。

Dyson (1944) 通过他称之为“秩”的数学工具解释了模 5 和模 7 的同余，并猜想这种方法可以扩展到其他模数。这个猜想（有时被称为“crank 猜想”）被扩展到模 11 的同余（Andrews 和 Garvan 1988）。Mahlburg (2005) 随后用一个优雅的证明完全解决了这个猜想，Dyson 将其描述为“美丽且完全出乎意料”。

在电视剧《数字追凶》(NUMB3RS) 第 4 季的开篇剧集“信任度量”(Trust Metric) (2007) 中，数学天才查理·艾普斯在开场场景结束时告知他的班级，他们将在下一节课讲解划分同余（尽管当前课程是关于 纳什均衡，这有点奇怪）。

参见

同余, Erdős-Ivić 猜想, 整数序列素数, Newman 猜想, 划分函数 P, 划分函数 q, 划分函数 Q, 划分函数 Q 同余

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/PartitionsP/

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参考文献

Andrews, G. E. and Garvan, F. G. "Dyson's Crank of a Partition." Bull. Amer. Math. Soc. 18, 167-171, 1988.Atkin, A. O. L. "Proof of a Conjecture of Ramanujan." Glasgow Math. J. 8, 14-32, 1967.Atkin, A. O. L. and O'Brien, J. N. "Some Properties of p(n) and c(n) Modulo Powers of 13." Trans. Amer. Math. Soc. 126, 442-459, 1967.Chowla, S. "Congruence Properties of Partitions." J. London Math. Soc. 9, 247, 1934.Darling, H. B. C. "On Mr. Ramanujan's Congruence Properties of p(n)." Proc. Cambridge Philos. Soc. 19, 217-218, 1919.Darling, H. B. C. "Proofs of Certain Identities and Congruences Enunciated by S. Ramanujan." Proc. London Math. Soc. 19, 350-372, 1921.Drost, J. L. "A Shorter Proof of the Ramanujan Congruence mod 5." Amer. Math. Monthly 104, 963-964, 1997.Dyson, F. J. Eureka 8, 10-15, 1944.Dyson, F. J. "Mappings and Symmetries of Partitions." J. Combin. Theory Ser. A 51, 169-180, 1989.Folsom, A.; Kent, Z. A.;and Ono, K. "l-adic Properties of the Partition Function." www.aimath.org/news/partition/folsom-kent-ono.pdf.Getz, J. "On Congruence Properties of the Partition Function." Internat. J. Math. Math. Sci. 23, 493-496, 2000.Gordon, B. and Hughes, K. "Ramanujan Congruences for q(n)." 在 解析数论，1980 年 5 月 12-15 日在宾夕法尼亚州费城天普大学举行的会议论文集 (编 M. I. Knopp). 纽约: Springer-Verlag, 页码 333-359, 1981.Gupta, H. "On a Conjecture of Ramanujan." Proc. Indian Acad. Sci. (A) 4, 625-629, 1936.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和著作的十二讲, 3rd ed. 纽约: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. 数论导论, 5th ed. 牛津，英格兰: Clarendon Press, 1979.Hirschhorn, M. D. "Another Short Proof of Ramanujan's Mod 5 Partition Congruences, and More." Amer. Math. Monthly 106, 580-583, 1999.Kolberg, O. "Note on the Parity of the Partition Function." Math. Scand. 7, 377-378, 1959.Krečmar, W. "Sur les propriétés de la divisibilité d'une fonction additive." Bull. Acad. Sci. URSS 7, 763-800, 1933.Lehmer, D. H. "An Application of Schläfli's Modular Equation to a Conjecture of Ramanujan." Bull. Amer. Math. Soc. 44, 84-90, 1938.Lewis, R. "Relations Between the Rank and the Crank Modulo 9." J. London Math. Soc. 45, 222-231, 1992.Mahlburg, K. "Partition Congruences and the Andrews-Garvan-Dyson Crank." Proc. National Acad. Sci. USA 102, 15373-15376, 2005.McKee, M. "Classic Maths Puzzle Cracked at Last." Mar. 21, 2005. http://www.newscientist.com/article.ns?id=dn7180.Mordell, L. J. "Note on Certain Modular Relations Considered by Messrs Ramanujan, Darling and Rogers." Proc. London Math. Soc. 20, 408-416, 1922.Ono, K. "Parity of the Partition Function in Arithmetic Progressions." J. reine. angew. Math. 472, 1-15, 1996.Ono, K. "The Partition Function in Arithmetic Progressions." Math. Ann. 312, 251-260, 1998.Ono, K. "Distribution of the Partition Function Modulo m." Ann. Math. 151, 293-307, 2000.Ramanujan, S. "Some Properties of p(n), the Number of Partitions of n." Proc. Cambridge Philos. Soc. 19, 207-210, 1919.Ramanujan, S. "Congruence Properties of Partitions." Math. Z. 9, 147-153, 1921.Sloane, N. J. A. Sequences A046063, A046064, A049575, A052462, A052463, A052464, A052465, and A052466 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Subbarao, M. V. "Some Remarks on the Partition Function." Amer. Math. Monthly 73, 851-854, 1966.Watson, G. N. "Ramanujans Vermutung über Zerfällungsanzahlen." J. für Math. 179, 97-128, 1938.Winquist, L. "An Elementary Proof of p(11m+6)=0 (mod 11)." J. Combin. Th. 6, 56-59, 1969.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

划分函数 P 同余

请引用为

Weisstein, Eric W. "划分函数 P 同余。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PartitionFunctionPCongruences.html

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