非标准分析

非标准分析是数学逻辑的一个分支，它引入了超实数，以允许“真正的无穷小”的存在，这些无穷小是小于 1/2、1/3、1/4、1/5、... 但大于 0 的数。阿布拉罕·鲁滨逊在 1960 年代发展了非标准分析。从那时起，该理论因其自身价值而受到研究，并已应用于 Banach 空间、微分方程、概率论、数理经济学和数理物理学等领域。

非标准分析中使用的公理是一阶集合论公理，但是经典分析中许多用高阶公理公理化的主题可以用集合论术语在一阶公理化中重新表述。例如，考虑集合上的测度的概念。在经典分析中，人们研究测度空间。一个测度空间由一个集合 ，以及一个测度 组成，该测度是从 的子集的某个 sigma-代数 到实数的函数。这种看待测度空间的方式是一种使用高阶逻辑的方式，而测度 是一种“高阶对象”，因为它不是 的元素。但是，如果形成超结构 超结构 ，其个体是 的成员和实数，并且按照关于非标准分析的典型文本中的描述构建，作为（大致）迭代幂集塔的并集，唯一的基本关系是隶属关系，那么在这个超结构的一阶理论中，可以将测度 称为一个元素，因为它实际上是 的一个元素。

粗略地说，非标准方法用一阶类似物代替高阶概念。它从不同的角度看待它们。然而，至关重要的是，非标准分析师看待分析公理的角度提供了平均情况下的复杂性降低，从而为各种结果提供了更短的证明，并且有一天将导致证明一个经典数学无法通过非标准方法获得的结果，正是因为它的经典证明太长，无法在人类居住在地球上的时间内写下来。

此外，在非标准分析社区中，越来越多的结果没有被翻译成标准结果，因为当使用非标准术语时，某些定理的直观内容更大和/或更清晰。例子包括在数理经济学中使用非标准分析来描述大型经济体的行为，以及使用非标准方法来赋予经典上没有意义的概念以意义，例如无限多个独立的、等权重的随机变量的某些乘积。