超有限集

在非标准分析中最有用的工具之一是超有限集的概念。要理解超有限集，首先从一个任意无限集开始，其成员不是集合，并形成超结构 在 之上。假设 包含自然数作为元素，令 表示自然数集作为 的元素，并令 为 的一个扩展。根据传递原理， 在 上的排序扩展到 上的严格线性排序，可以用符号 "" 表示。由于 是 的扩展，它满足并发原理，因此存在一个 元素，属于 ，使得如果 ，则 。这是因为关系 是自然数集上的一个并发关系。

任何 成员，如果它不是 的元素，则称为无穷非标准自然数，并且对于任何集合 ，如果 与 的任何元素存在一一对应，则 在 中被称为超有限集。由于在 的任何扩展中都存在无穷非标准自然数，，因此在任何这样的扩展中，都存在不是有限的超有限集。这样的超有限集可以用于研究满足各种有限性条件的无限结构。