模直和

模 和 的直和是模

(1)

其中所有代数运算都是逐分量定义的。特别地，假设 和 是左 -模，那么

(2)

和

(3)

其中 是环 ring 的一个元素。任意多个在同一个环上的 modules 的直和也被定义。如果 是模族的索引集，那么直和由从 到所有这些 modules 的并集，具有有限支撑的函数集合表示，使得函数将 映射到由 索引的 module 中的一个元素。

直和的维数是被加项的维数之和。直和的重要性质是它是 category of modules 中的 coproduct。这个一般定义作为结果给出了 Abelian groups 和 (因为它们是 -modules，即在 integers 上的 modules) 的直和 以及 vector spaces 的直和 (因为它们是在 field 上的 modules)。注意，Abelian groups 的直和与 group direct product 相同，但术语“直和”不用于 non-Abelian 的群。

每当 是一个 module，带有 module homomorphisms 和 ，那么存在一个 module homomorphism ，由 给出。请注意，此映射是明确定义的，因为模中的加法是可交换的。当强调上积性质时，有时直和优于直积。