混合线内切圆

一个与三角形的两条边和外接圆内切的圆称为混合线内切圆。存在三个混合线内切圆，每个角对应一个。

内接于角的-混合线内切圆的半径由下式给出

(1)

其中 是参考三角形的内切圆半径 (Durell and Robson 1935)，且圆心函数为

(2)

这些可以被推导出来，通过考虑精确三线坐标 ，并注意到-圆与边和相切的条件意味着

(3)

令 为 -圆和外接圆圆心之间的距离，这可以使用三线距离公式找到，那么由于这两个圆内切，

(4)

将此与精确三线坐标的条件 结合，可以得到两个方程，这两个方程可以求解两个未知数 和 。

-混合线内切圆与边和的切点，可以通过将这些边与穿过内心 且垂直于角平分线 的直线相交找到 (Veldkamp 1976-1977)。

与边相切的两个混合线内切圆的根轴穿过不包含的弧的中点，以及内切圆到的切点半径的中点 (Nguyen and Salazar 2006)。

令 为内接于角的混合线内切圆与外接圆的切点。类似地定义 和 。那么直线 、 和 共点。交点是外接圆和内切圆的外位似中心，即 Kimberling 中心 (Yiu 1999)。

连接这些圆心的三角形是混合线三角形，其外接圆是混合线圆。