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神奇几何常数

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设 E 是 d 维欧几里得空间的紧致连通子集。Gross (1964) 和 Stadje (1981) 证明存在唯一的实数 a(E)，使得对于所有 x_1, x_2, ..., x_n in E，都存在 y in E 满足

1/nsum_(j=1)^nsqrt(sum_(k=1)^d(x_(j,k)-y_k)^2)=a(E).
(1)

E 的神奇常数 m(E) 定义为

m(E)=(a(E))/(diam(E)),
(2)

其中

diam(E)=max_(u,v in E)sqrt(sum_(k=1)^d(u_k-v_k)^2).
(3)

这些数也称为散布数和汇合值。对于任何 E，Gross (1964) 和 Stadje (1981) 证明

1/2<=m(E)<1.
(4)

如果 I 是直线的子区间，D 是平面中的圆形盘，则

m(I)=m(D)=1/2.
(5)

如果 C 是圆，则

m(C)=2/pi=0.6366...
(6)

(OEIS A060294)。对于椭圆的神奇常数，用其半长轴和半短轴长度表示的表达式尚不清楚。Nikolas 和 Yost (1988) 表明，对于勒洛三角形 T

0.6675276<=m(T)<=0.6675284.
(7)

将 m(E) 在 n 维空间中的最大值记为 M(n)。则

M(1)1/2
M(2)m(T)<=M(2)<=(2+sqrt(3))/(3sqrt(3))<0.7182336
M(d)d/(d+1)<=M(d)<=([Gamma(1/2d)]^22^(d-2)sqrt(2d))/(Gamma(d-1/2)sqrt((d+1)pi))<sqrt(d/(d+1))

其中 Gamma(z) 是伽玛函数 (Nikolas 和 Yost 1988)。

一个与给定幻方特征无关的量也称为幻方常数。

另请参阅

幻方常数

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参考文献

Finch, S. R. "汇合常数。" §8.21 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 537-542, 2003.Cleary, J.; Morris, S. A.; and Yost, D. "数值几何——形状的数字。" 美国数学月刊 95, 260-275, 1986.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. 几何中的未解问题。 New York: Springer-Verlag, 1994.Gross, O. 度量空间的汇合值。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 49-53, 1964.Nikolas, P. and Yost, D. "欧几里得空间子集的平均距离性质。" 数学存档 (巴塞尔) 50, 380-384, 1988.Sloane, N. J. A. 序列 A060294 in "整数序列在线百科全书。"Stadje, W. "紧致连通空间的性质。" 数学存档 (巴塞尔) 36, 275-280, 1981.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

神奇几何常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "神奇几何常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MagicGeometricConstants.html

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