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卢卡斯多项式序列

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卢卡斯多项式序列是一对广义多项式，它将卢卡斯序列推广到多项式，其定义为

W_n^k(x)=(Delta^k(x)[a^n(x)-(-1)^kb^n(x)])/(Delta(x))
(1)
w_n^k(x)=Delta^k(x)[a^n(x)+(-1)^kb^n(x)],
(2)

其中

a(x)+b(x)=p(x)
(3)
a(x)b(x)=-q(x).
(4)

求解 a(x) 和 b(x)，并取 a(x) 带 + 号的解，得到

Delta(x)=a(x)-b(x)=sqrt(p^2(x)+4q(x))
(5)

(Horadam 1996)。令 n=0 得到

W_0^k(x)=Delta^k(x)(1-(-1)^k)/(Delta(x))
(6)
w_0^k(x)=Delta^k(x)[1+(-1)^k],
(7)

得到

W_0^0(x)=0
(8)
w_0^0(x)=2.
(9)

最常考虑的序列具有 k=0，得到

W_n(x)=W_n^0(x)=(a^n(x)-b^n(x))/(a(x)-b(x)) =([p(x)+sqrt(p^2(x)+4q(x))]^n-[p(x)-sqrt(p^2(x)+4q(x))]^n)/(2^nsqrt(p^2(x)+4q(x))) w_n(x)=w_n^0(x)=a^n(x)+b^n(x) =([p(x)+sqrt(p^2(x)+4q(x))]^n+[p(x)-sqrt(p^2(x)+4q(x))]^n)/(2^n).
(10)

w 多项式满足递推关系

w_n(x)=p(x)w_(n-1)(x)+q(x)w_(n-2)(x).
(11)

W(x) 和 w(x) 多项式的特殊情况在下表中给出。

p(x)q(x)W(x)w(x)
x1斐波那契多项式 F_n(x)卢卡斯多项式 L_n(x)
2x1佩尔多项式 P_n(x)佩尔-卢卡斯多项式 Q_n(x)
12x雅可比斯塔尔多项式 J_n(x)雅可比斯塔尔-卢卡斯多项式 j_n(x)
3x-2费马多项式 F_n(x)费马-卢卡斯多项式 f_n(x)
2x-1第二类切比雪夫多项式 U_(n-1)(x)第一类切比雪夫多项式 2T_n(x)
x+1-x(x^n-1)/(x-1)x^n+1

另请参阅

第一类切比雪夫多项式, 第二类切比雪夫多项式, 分圆多项式, 费马多项式, 斐波那契多项式, 雅可比斯塔尔多项式, 卢卡斯多项式, 卢卡斯序列, 佩尔多项式

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参考文献

Horadam, A. F. "Extension of a Synthesis for a Class of Polynomial Sequences." Fib. Quart. 34, 68-74, 1996。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

卢卡斯多项式序列

请引用为

Weisstein, Eric W. "卢卡斯多项式序列。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LucasPolynomialSequence.html

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