线性分式变换

形如以下的变换 的变换

(1)

其中 , , , 且

(2)

是一个称为线性分式变换的共形映射。该变换可以扩展到整个扩充复平面 ，定义为

			(3)
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(Apostol 1997, p. 26)。线性分式变换对于 和 都是线性的，并且在除了 处的简单极点之外的所有地方都是解析的。

克莱因群是离散群在复平面 中线性分式变换的最一般情况。

除了 之外，每个线性分式变换都有一或两个不动点。线性分式变换将圆和直线映射到圆或直线。线性分式变换保持对称性。交比在线性分式变换下是不变的。线性分式变换是由平移、旋转、放大和反演组成的。

要确定一个特定的线性分式变换，需要指定三个点的映射，且保持方向不变。那么，该线性分式变换就被唯一确定了。要确定一个一般的线性分式变换，选取两个对称点 和 。定义 ，并根据需要限制 。计算 。由于线性分式变换保持对称性（对称性原理），因此 等于 。将 和 代入一般线性分式变换，并使其分别等于 和 。不失一般性，设 ，并以 表示求解 和 。将其代回一般表达式以获得线性分式变换。