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交比

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如果 a, b, c, 和 d 是扩充复平面 C^* 中的点，它们的交比，也称为复比 (Courant and Robbins 1996, p. 172; Durell 1928, p. 73)、非调和比以及非调和截线 (Casey 1888)，定义为

[a,b,c,d]=((a-b)(c-d))/((a-d)(c-b)).
(1)

这里如果 a=d，结果是无穷大；如果 a, b, c, 或 d 其中之一是无穷大，则右侧包含它的两项将被抵消。

对于线性分式变换 f,

[a,b,c,d]=[f(a),f(b),f(c),f(d)].
(2)

函数 f(z)=[z,b,c,d] 是唯一的线性分式变换，它将 b 映射到 0，c 映射到 1，以及 d 映射到 无穷大。此外，f(z) 是实数当且仅当这四个点位于一条直线或广义圆上。

交比可能取六个不同的值，具体取决于点的选择顺序。设 lambda=[a,b,c,d]。交比的可能值是 lambda、1-lambda、1/lambda、(lambda-1)/lambda、1/(1-lambda) 和 lambda/(lambda-1)。

给定四个共线点 A、B、C 和 D，令点 A 和 B 之间的距离表示为 AB 等。那么交比可以定义为

[A,B,C,D]=((AC)(BD))/((AD)(BC)).
(3)

符号 {AB,CD} 有时也被使用 (Coxeter and Greitzer 1967, p. 107)。

对于交比，有许多不同的符号和定义约定。例如，定义 [A,B,C,D]=(AB/AD)/(BC/CD) 和 [A,B,C,D]=(CA/CB)/(DA/DB) 分别被 Kline (1990) 以及 Courant 和 Robbins (1966) 使用 (Coxeter and Greitzer 1967, p. 107)。

恒等式

[A,D,B,C]+[A,B,D,C]=1
(4)

成立当且仅当 AC//BD，其中 // 表示分离。

交比也可以为任何四个共面点定义。它在任何反演变换下保持不变 (cf. Ogilvy 1990, p. 40)，其极点与给定的四个点中的任何一个都不同（最后的限制是必要的，只是为了避免使用无穷大）。

下表总结了一些几何构型的交比。

图形交比
正方形 ABCD 边长为 a2
正方形 ABCD 边长为 a1/2
矩形 ABCD 边长为 a、b1+(a^2)/(b^2)
等边三角形 DeltaABC 中心为 D1

另请参阅

二价范围, 等交比, 调和范围, 射影的, 莫比乌斯变换, 分离

使用 探索

参考文献

Anderson, J. W. "The Cross Ratio." §2.3 in Hyperbolic Geometry. New York: Springer-Verlag, pp. 30-36, 1999.Bogomolny, A. "Cross-Ratio." http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml.Casey, J. "Theory of Anharmonic Section." §6.6 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 126-140, 1888.Courant, R. and Robbins, H. "Cross-Ratio." What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 172-180, 1996.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Cross Ratio." §5.2 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 107-108, 1967.Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 73-76, 1928.Graustein, W. C. "Cross Ratio." Ch. 6 in Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, pp. 72-83, 1930.Kline, M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford, England: Oxford University Press, 1990.Lachlan, R. "Theory of Cross Ratio." Ch. 16 in An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 266-282, 1893.Möbius, A. F. Ch. 5 in Der barycentrische Calcul: Ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie, dargestellt und insbesondere auf die Bildung neuer Classen von Aufgaben und die Entwickelung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet. Leipzig, Germany: J. A. Barth, 1827.Ogilvy, C. S. Excursions in Geometry. New York: Dover, pp. 39-41, 1990.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 41, 1991.

在 中被引用

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请引用为

Weisstein, Eric W. "Cross Ratio." 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CrossRatio.html

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