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埃尔米特插值多项式

设 l(x) 为一个 n次 多项式，其零点为 x_1, ..., x_n。那么第一类和第二类基本埃尔米特插值多项式定义为

h_nu^((1))(x)=[1-(l^('')(x_nu))/(l^'(x_nu))(x-x_nu)][l_nu(x)]^2
(1)

和

h_nu^((2))(x)=(x-x_nu)[l_nu(x)]^2
(2)

对于 nu=1, 2, ...n，其中拉格朗日插值基本多项式定义为

l_nu(x)=(l(x))/(l^'(x_nu)(x-x_nu)).
(3)

它们分别被 Szegö (1975, p. 330) 记为 h_nu(x) 和 h_nu(x)。

这些多项式具有以下性质

h_nu^((1))(x_mu)=delta_(numu)
(4)
h_nu^((1))^'(x_mu)=0
(5)
h_nu^((2))(x_mu)=0
(6)
h_nu^((2))^'(x_mu)=delta_(numu).
(7)

对于 mu,nu=1, 2, ..., n。现在设 f_1, ..., f_n 和 f_1^', ..., f_n^' 为值。那么展开式

W_n(x)=sum_(nu=1)^nf_nuh_nu^((1))(x)+sum_(nu=1)^nf_nu^'h_nu^((2))(x)
(8)

给出了唯一的埃尔米特插值基本多项式，对于该多项式

W_n(x_nu)=f_nu
(9)
W_n^'(x_nu)=f_nu^'.
(10)

如果 f_nu^'=0，这些被称为埃尔米特插值多项式。

基本多项式满足

h_1^((1))(x)+...+h_n^((1))(x)=1
(11)

和

sum_(nu=1)^nx_nuh_nu^((1))(x)+sum_(nu=1)^nh_nu^((2))(x)=x.
(12)

此外，如果 dalpha(x) 是区间 [a,b] 上的任意分布，则

int_a^bh_nu^((1))(x)dalpha(x)=lambda_nu
(13)
int_a^bh_nu^((1))^'(x)dalpha(x)=0
(14)
int_a^bxh_nu^((1))^'(x)dalpha(x)=0
(15)
int_a^bh_nu^((2))(x)dalpha(x)=0
(16)
int_a^bh_nu^((2))^'(x)dalpha(x)=lambda_nu
(17)
int_a^bxh_nu^((2))^'(x)dalpha(x)=lambda_nux_nu,
(18)

其中 lambda_nu 是克里斯托费尔数。

另请参阅

克里斯托费尔数, 拉格朗日插值多项式

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参考文献

Bartels, R. H.; Beatty, J. C.; 和 Barsky, B. A. "Hermite and Cubic Spline Interpolation." Ch. 3 in 计算机图形学和几何建模中样条线使用入门。 San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, pp. 9-17, 1998.Hildebrand, F. B. 数值分析导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 314-319, 1956.Szegö, G. 正交多项式，第 4 版。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 330-332, 1975.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

埃尔米特插值多项式

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "埃尔米特插值多项式。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HermitesInterpolatingPolynomial.html

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