科赫雪花

科赫雪花是一个 fractal 曲线，也称为科赫岛，由 Helge von Koch 于 1904 年首次描述。它通过从一个 等边三角形开始构建，移除每条边的内三分之一，在移除边的位置构建另一个 等边三角形，然后无限重复该过程。科赫雪花可以简单地编码为一个 Lindenmayer 系统，初始字符串为"F--F--F"， 字符串重写 规则"F" -> "F+F--F+F"，以及角度 。上面显示了构造的第零次到第三次迭代。

三角形的每个分形边有时被称为科赫曲线。

分形也可以使用基曲线和母题构建，如上所示。

科赫雪花的第 次迭代在 Wolfram Language 中实现为KochCurve[n]。

设 为边数， 为单边长度， 为 周长， 为第 次迭代后雪花的 面积。此外，将初始 三角形 的 面积 表示为，初始 边的长度表示为 1。那么

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解具有 的递推方程得到

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因此当 时，

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那么容量维度为

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(OEIS A100831；Mandelbrot 1983, p. 43)。

一些美丽的 平铺，其中一些例子如上所示，可以通过迭代科赫雪花来制作。

此外，面积比为 1:3 的两种尺寸的科赫雪花 平铺了 平面，如上所示。

科赫雪花的另一种美丽的修改包括用填充三角形内接组成三角形，可能以某个角度旋转。上面展示了 3 次和 4 次迭代的一些示例结果。