有许多被称为霍克斯过程的点过程,虽然其中许多概念相似,但有些则相当不同。对于单变量和多变量点过程,也有不同的公式。
在一些文献中,单变量霍克斯过程被定义为自激发时序点过程 ,其条件强度函数
定义为
(1)
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其中 是过程
的背景速率,其中
是时间
之前发生的时间点,其中
是一个控制
聚类密度的函数。函数
有时被称为
的激发函数或激励函数。 同样,一些作者(Merhdad 和 Zhu 2014)用
表示条件强度函数
,并将 () 中的被加数重写为
(2)
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霍克斯本人取得最大进展的过程是单变量自激发的时序点过程 ,其条件强度函数
是线性的(Hawkes 1971)。因此,一些作者将此类过程称为霍克斯过程。 然而,一般来说,这种
行为通常是指定的,即,
是线性的过程被称为线性霍克斯过程,并与其条件强度函数
是非线性的非线性对应物区分开来(Merhdad 和 Zhu 2014)。
还有其他作者考虑两种替代类型的单变量霍克斯过程,一种是所谓的基于强度的霍克斯过程,另一种是所谓的基于聚类的版本,它们是等价的,但在不同的背景下研究(Dassios 和 Zhao 2013)。 在这种情况下,基于强度的过程是 在
上的时序点过程,它具有非负的指数衰减的
-随机强度
,形式如下
(3)
|
对于 ,其中
是过程
的历史,
相对于它进行调整,
是常数回复水平,
是时间
时的初始强度,
是指数衰减的常数速率,
是自激发跳跃的大小,被视为根据某些分布函数
分布的独立随机变量,
,并且
和
被假定为彼此独立。 这等价于基于聚类的版本,其中 () 被视为标记的泊松聚类过程
,唯一的区别是从基于聚类的角度来看
1. 集合 由称为移民的元素组成,这些元素按照速率为非齐次泊松过程分布
(4)
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对于 。
2. 与移民 相关的标记集合
与移民无关,并且根据某些分布
分布为独立随机变量。
3. 每个移民 生成一个独立的聚类
,与其他聚类无关,其中每个
被视为受特定分支结构约束的随机集 (Dassios 和 Zhao 2013),它满足
的属性。
除了这些歧义之外,一些作者(例如,Merhdad 和 Zhu 2014)对 () 中描述的单变量过程进行了推广,这些过程仍然被称为霍克斯过程。 一个例子包括调整 () 以使该过程具有不同的激发函数,其结果是一系列 的非爆炸简单点过程,对于这些过程
1. 是一个非齐次泊松过程,在时间
处的强度为
;
2. 对于每个 ,
是一个简单点过程,强度为
(5)
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3. 对于每个 ,
是一个非齐次泊松过程,条件为
时,强度为
。
在这种情况下,函数 被称为具有激发函数
的单变量霍克斯过程,而
称为移民过程,
称为第
代后代过程 (Merhdad 和 Zhu 2014)。 请注意,当
且对于任何
时
,此扩展模型简化为经典线性模型 ()。
由于霍克斯过程这个术语在单变量点过程中的广泛使用,人们预计多变量霍克斯过程的定义也会有同样多的空间。 然而,令人惊讶的是,该术语最常见的用法是指定义方程 () 和 () 的相对直接的扩展,由此可以说,当关联的强度函数 由下式定义时,取值于
的多变量
-维计数过程
是多变量霍克斯过程
(6)
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对于 , ...,
,具有以下形式
(7)
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(Bacry 等人 2012)。 这里, 代表概率,
是由
生成的直到当前时间
的sigma-代数,
,以及
对于
。
然而,值得注意的是,正如单变量情况一样,一些作者区分了不同“类型”的多变量霍克斯过程(Liniger 2009),而另一些作者则将完全不同类型的多变量函数定义为多变量霍克斯过程(Carlsson 等人 2007)。