Peter-Weyl 定理

设 为一个 李群，并设 为 在 上的一个 群表示 (对于某个自然数 )，它是连续的，意义是函数 由 定义是连续的。然后对于每个 和每个 ，函数 由 定义是连续的。所有这些函数的 向量空间张成 称为代表函数空间。

Peter-Weyl 定理指出，如果 是紧致的，那么

1. 代表函数在所有连续函数的空间中是稠密的，关于 上确界范数；

2. 代表函数在所有平方可积函数的空间 中是稠密的，关于在 上的 哈尔测度；

3. 不可约连续表示的 特征标 的 向量空间张成 在从 到 的所有连续函数空间中是稠密的，这些函数在 的每个 共轭类 上是常数，关于上确界范数。

如果假设 是一个 矩阵群，则这个定理很容易从 Stone-Weierstrass 定理 推导出来。另一方面，Peter-Weyl 定理的一个推论是，每个紧致李群都同构于某个矩阵群。