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黄金菱形

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GoldenRhombus

黄金菱形是一个 菱形，其对角线的比率为 p/q=phi，其中 phi 是黄金比例。

RhombicHexecontahedron
RhombicTriacontahedron

锐角黄金菱面体、比林斯基十二面体、钝角黄金菱面体、菱形六十面体和 菱形三十面体的面都是黄金菱形。

半角 theta 由下式给出

theta=cot^(-1)phi
(1)
=1/2tan^(-1)2
(2)
approx 0.553574
(3)
approx 31.7175 degrees
(4)

（OEIS A195693）。

RhombicTriacontahedronRhomb

将较小的内角标记为 alpha，较大的内角标记为 beta，则

alpha+beta=pi
(5)

且

alpha=2theta
(6)
=cos^(-1)(1/(sqrt(5)))
(7)
=sec^(-1)(sqrt(5))
(8)
=sin^(-1)(2/(sqrt(5)))
(9)
=tan^(-1)2
(10)
=1.10714...
(11)
=63.4349 degrees...
(12)
beta=cos^(-1)(-1/(sqrt(5)))
(13)
=sec^(-1)(-sqrt(5))
(14)
=arg(2i-1)
(15)
=2.0344...
(16)
=116.6550 degrees...
(17)

（OEIS A105199 和 A137218）。

边长为 a 的黄金菱形的对角线长度由下式给出

p=(2a)/(sqrt(1+phi^(-2)))
(18)
=acsc(pi/5)
(19)
=asqrt(2+2/(sqrt(5)))
(20)
=1.70130...a
(21)
q=(2a)/(sqrt(1+phi^2))
(22)
=acsc((2pi)/5)
(23)
=asqrt(2-2/(sqrt(5)))
(24)
=1.05146...a
(25)

（OEIS A121570 和 A179290），内切圆半径由下式给出

r=a/(sqrt(5)),
(26)

面积由下式给出

A=(2a^2)/(sqrt(5)).
(27)

参见

锐角黄金菱面体、比林斯基十二面体、黄金角、黄金等带体、黄金比例、黄金矩形、黄金菱面体、钝角黄金菱面体、菱形六十面体、菱形三十面体、菱形

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参考文献

Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 177, 179, and 187, 2002.Sloane, N. J. A. 序列 A105199, A121570, A137218, A179290, 和 A195693，出自“整数序列在线百科全书”。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

黄金菱形

citation:

Weisstein, Eric W. “黄金菱形。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GoldenRhombus.html

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