埃及分数是正（通常是不同的）单位分数的和。著名的莱因德纸草书，可追溯到公元前 1650 年左右，其中包含 
表示为埃及分数的表格，其中 奇数 
在 5 到 101 之间。埃及人选择这种方法来表示分数的原因尚不清楚，尽管 André Weil 将这一决定描述为“一个错误的转弯”（Hoffman 1998，第 153-154 页）。埃及人唯一没有使用单位分数表示的分数是 2/3（Wells 1986，第 29 页）。
埃及分数几乎总是需要排除重复项，因为诸如 
之类的表示是微不足道的。任何有理数都可以表示为具有任意多项和任意大分母的埃及分数，尽管对于给定固定数量的项，只有有限多个。斐波那契证明了任何分数都可以表示为不同单位分数的和（Hoffman 1998，第 154 页）。可以使用恒等式构造无限单位分数链
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Martin (1999) 表明，对于每个正有理数，都存在埃及分数，其最大分母最多为 
，并且其分母构成高达 
的整数的正比例，对于足够大的 
。每个分数 
，其中 
是奇数，都有一个埃及分数，其中每个分母都是奇数（Breusch 1954；Guy 1994，第 160 页）。每个 
都有一个 
项表示，其中 
(Vose 1985)。
对于生成具有最小项数或最小可能分母的单位分数表示，尚不清楚任何算法（Hoffman 1998，第 155 页）。但是，有许多算法（包括二进制余数法、连分数单位分数算法、广义余数法、贪婪算法、反向贪婪算法、小倍数法和分裂算法）用于将任意分数分解为单位分数。1202 年，斐波那契发表了一种构造单位分数表示的算法，随后 Sylvester 重新发现了该算法（Hoffman 1998，第 154 页；Martin 1999）。
取分数 1/2、1/3、2/3、1/4、2/4、3/4、...（其分子是 OEIS A002260，其分母是 
个整数 
的副本），使用贪婪算法的单位分数表示为
这些表示中的项数分别为 1、1、2、1、1、2、1、2、2、3、1、... (OEIS A050205)。每个表示的最小分母由 2、3、2、4、2、2、5、3、2、2、6、3、2、... (OEIS A050206) 给出，最大分母为 2、3、6、4、2、4、5、15、10、20、6、3、2、... (OEIS A050210)。
下表总结了使用贪婪算法的各种常数的埃及分数。
常数  | OEIS |  的埃及分数 |
 | A006487 | 3, 13, 253, 218201, 61323543802, ... |
 | A118325 | 2, 5, 32, 1249, 5986000, 438522193400489, ... |
 | A069139 | 2,
5, 141, 68575, 32089377154, ... |
 | A006525 | 2, 5, 55, 9999, 3620211523, 25838201785967533906, ... |
 | A006526 | 3,
29, 15786, 513429610, 339840390654894740, ... |
 | A110820 | 2, 13, 3418, 52016149, 153922786652714666, ... |
 | A118323 | 2,
3, 13, 176, 36543, ... |
 | A117116 | 2, 9, 145, 37986, 2345721887, ... |
 | A118324 | 2, 6, 38, 6071, 144715221, ... |
 | A001466 | 8, 61, 5020, 128541455, 162924332716605980, ... |
 | A006524 | 4,
15, 609, 845029, 1010073215739, ... |
任何分母为奇数的分数都可以表示为有限个单位分数的和，每个单位分数的分母都是奇数（Starke 1952，Breusch 1954）。Graham 证明了无限多个在一定范围内的分数可以表示为分母为平方数的单位分数之和（Hoffman 1998，第 156 页）。
Paul Erdős 和 E. G. Straus 推测丢番图方程
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总是可以求解，这一论断有时被称为Erdős-Straus 猜想，而 Sierpiński (1956) 推测
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可以求解（Guy 1994）。
调和数 
永远不是整数，除了 
。Taeisinger 在 1915 年证明了这个结果，而 Kürschák 在 1918 年证明了更一般的结果，即任何数量的连续项（不一定从 1 开始）的总和永远不会是整数（Hoffman 1998，第 157 页）。1932 年，Erdős 证明了任何数量的等距整数的倒数之和永远不是倒数。
已知一些非平凡的整数集，它们的倒数之和为小整数。例如，存在一个由 366 个正整数（最大值为 992）组成的集合，其倒数之和恰好为 2（Mackenzie 1997；Martin）。已知一个类似的由 453 个小正整数组成的集合，其总和为 6 (Martin)。
另请参阅
Akhmim 木板,
埃及数学皮革卷轴,
埃及数字,
Engel 展开,
Erdős-Straus 猜想,
调和数,
莱因德纸草书,
单位分数
使用 Wolfram|Alpha 探索
参考文献
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埃及分数
请引用为
Weisstein, Eric W. "埃及分数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/EgyptianFraction.html
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