Dini 导数

设 是定义在 函数 区间 上的实值函数，并设 。四个单侧极限

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和

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被称为 在 的 Dini 导数。单独地，它们被称为 右上、右下、左上 和 左下 Dini 导数， 在 ，并且任何或所有值都可能是无穷大。

事实证明，连续函数 的单个 Dini 导数在点 处的连续性，意味着 在 处的其他三个 Dini 导数的连续性，四个 Dini 导数的相等，以及函数 函数 的（通常）可微性。此外，Denjoy-Saks-Young 定理 完全表征了定义在 区间 上的有限实值 函数 的所有可能的 Dini 导数，以及作为推论，定义在 区间 上的所有 单调 和 连续函数 的 Dini 导数。

Dini 导数的许多其他重要性质也已被研究和表征。Banach 证明了 Lebesgue 可测函数 的 Dini 导数是 Lebesgue 可测的。此外，人们可以很容易地证明 凸函数 满足关于 Dini 导数的一些非常精确的“几乎可微性”条件（Kannan 和 Krueger 1996）。

与 的通常导数不同，Dini 导数有时可能具有意想不到的性质。Ruziewicz 提出了一个著名的例子，他表明，即使 在 区间 上成立，连续函数 和 在 上的差值也可能不是常数；这部分是由于允许无限 Dini 导数。