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凸函数

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ConvexFunction

凸函数是一个连续函数，其在定义域内每个区间的中点的值不大于该区间端点值的算术平均值。

更一般地，函数 f(x) 在区间 [a,b] 上是凸函数，如果对于 [a,b] 中的任意两点 x_1 和 x_2 以及任何满足 0<lambda<1 的 lambda，

f[lambdax_1+(1-lambda)x_2]<=lambdaf(x_1)+(1-lambda)f(x_2)

(Rudin 1976, p. 101; 参见 Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 1132)。

如果 f(x) 在 [a,b] 上存在二阶导数，那么它在该区间上是凸函数的必要和充分条件是二阶导数 f^('')(x)>=0 对于所有 x 在 [a,b] 上成立。

如果上述不等式对于所有 x_1 和 x_2 都是严格不等式，那么 f(x) 称为严格凸函数。

凸函数的例子包括 x^p，其中 p=1 或 p>=2，xlnx，其中 x>0，以及 |x|，对于所有 x。如果不等号反向，则该函数称为凹函数。

另请参阅

凸性，凹函数，区间，对数凸函数

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参考文献

Eggleton, R. B. 和 Guy, R. K. "Catalan Strikes Again! How Likely is a Function to be Convex?" Math. Mag. 61, 211-219, 1988.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1132, 2000.Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1976.Webster, R. Convexity. Oxford, England: Oxford University Press, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

凸函数

请这样引用

Weisstein, Eric W. "凸函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConvexFunction.html

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