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卷积定理

设 f(t) 和 g(t) 是时间 t 的任意函数，具有傅里叶变换。取

f(t)=F_nu^(-1)[F(nu)](t)=int_(-infty)^inftyF(nu)e^(2piinut)dnu
(1)
g(t)=F_nu^(-1)[G(nu)](t)=int_(-infty)^inftyG(nu)e^(2piinut)dnu,
(2)

其中 F_nu^(-1)(t) 表示逆傅里叶变换（其中变换对定义为常数 A=1 和 B=-2pi）。那么卷积为

f*g=int_(-infty)^inftyg(t^')f(t-t^')dt^'
(3)
=int_(-infty)^inftyg(t^')[int_(-infty)^inftyF(nu)e^(2piinu(t-t^'))dnu]dt^'.
(4)

交换积分顺序，

f*g=int_(-infty)^inftyF(nu)[int_(-infty)^inftyg(t^')e^(-2piinut^')dt^']e^(2piinut)dnu
(5)
=int_(-infty)^inftyF(nu)G(nu)e^(2piinut)dnu
(6)
=F_nu^(-1)[F(nu)G(nu)](t).
(7)

因此，对每一边应用傅里叶变换，我们有

F[f*g]=F[f]F[g].
(8)

卷积定理也采用以下替代形式

F[fg]=F[f]*F[g]
(9)
F^(-1)(F[f]F[g])=f*g
(10)
F^(-1)(F[f]*F[g])=fg.
(11)

参见

自相关, 卷积, 傅里叶变换, 维纳-辛钦定理

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参考文献

Arfken, G. "卷积定理。" §15.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 810-814, 1985.Bracewell, R. "卷积定理。" The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 108-112, 1999.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

卷积定理

引用为

Weisstein, Eric W. "卷积定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConvolutionTheorem.html

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