完备黎曼度量

在完备黎曼度量中，测地线无限延伸，即每条测地线都等距于实数线。例如，欧几里得空间是完备的，但开单位圆盘不是完备的，因为任何测地线都在有限距离处结束。一个流形是否完备取决于度量。

例如，具有通常度量的穿孔平面 不是完备的。然而，使用黎曼度量 ，穿孔平面是无限（平坦）圆柱体，它是完备的。上面的图示说明了一条测地线，它只能行进有限的距离，因为它到达了穿孔平面中的一个孔，这例证了具有通常度量的穿孔平面不是完备的。路径 是由弧长参数化的测地线。

在紧流形上的任何度量都是完备的。因此，紧流形的万有覆盖上的拉回度量是完备的。