有界变差

如果一个函数 在闭区间 上具有有界变差，则存在一个 使得

(1)

对于所有 。

有界变差函数空间记为“BV”，并具有半范数

(2)

其中 遍历所有由 和 1 界定的紧支撑函数。半范数等于上述所有和的 supremum，也等于 (当此表达式有意义时)。

在区间 上，函数 (紫色) 具有有界变差，但 (红色) 则不然。更一般地，如果一个函数 在域 中是局部有界变差的，如果 是局部可积的，，并且对于所有在 中具有紧闭包的开子集 ，以及所有在 中紧支撑的光滑向量场 ,

(3)

div 表示散度，而 是一个常数，它仅取决于 和 的选择。

这些函数构成空间 。它们可能不可微，但根据 Riesz 表示定理，一个 -函数 的导数是一个正则 Borel 测度 。有界变差函数也满足紧致性定理。

给定一个 函数序列 ，使得

(4)

即函数在任何紧支撑开子集 中的总变差是有界的，存在一个子序列 ，它在 的拓扑中收敛到一个函数 。此外，该极限满足

(5)

它们也满足庞加莱引理的一个版本。