主题
Search

球线段拾取

下载 Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
BallLinePicking

给定一个 n 球 B^n，半径为 R，求由球内随机选择的两个点确定的线段长度 s 的分布。长度的概率分布由下式给出

P_n(s)=n(s^(n-1))/(R^n)I_x(1/2(n+1),1/2),
(1)

其中

x=1-(s^2)/(4R^2)
(2)

并且

I_x(p,q)=(B(x;p,q))/(B(p,q))
(3)

是 正则化 Beta 函数，其中 B(x;p,q) 是 不完全 Beta 函数，B(p,q) 是 Beta 函数 (Tu and Fischbach 2000)。

前几个是

P_1(s)=1/R-s/(2R)
(4)
P_2(s)=(4s)/(piR^2)cos^(-1)(s/(2R))-(2s^2)/(piR^3)sqrt(1-(s^2)/(4R^2))
(5)
P_3(s)=(3s^2)/(R^3)-(9s^3)/(4R^4)+(3s^5)/(16R^6)
(6)
P_4(s)=(8s^3)/(piR^4)cos^(-1)(s/(2R))-(8s^4)/(3piR^5)(1-(s^2)/(4R^2))^(3/2)-(4s^4)/(piR^5)sqrt(1-(s^2)/(4R^2)).
(7)

对于 R=1 和前几个维度 n，平均线段长度 由下式给出

s^__1=2/3
(8)
s^__2=(128)/(45pi)
(9)
s^__3=(36)/(35)
(10)
s^__4=(16384)/(4725pi)
(11)

(OEIS A093530 和 A093531 以及 OEIS A093532 和 A093533)，分别对应于 线线段拾取、圆盘线段拾取、(3-D) 球线段拾取等等。

另请参阅

球拾取, 球点拾取, 球四面体拾取, 球三角形拾取, 圆盘线段拾取, 线线段拾取, 球体线段拾取

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Kendall, M. G. 和 Moran, P. A. P. 几何概率。 New York: Hafner, 1963.Santaló, L. A. 积分几何与几何概率。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1976.Sloane, N. J. A. 整数序列在线百科全书中的序列 A093530, A093531, A093532, 和 A093533。Tu, S.-J. 和 Fischbach, E. "N 维球体及其应用的一种新的几何概率技术" 2000年4月17日。 http://arxiv.org/abs/math-ph/0004021.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

球线段拾取

请引用为

Weisstein, Eric W. "球线段拾取。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/BallLinePicking.html

学科分类