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三项式系数

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三项式系数是三项式三角形的系数。根据 Andrews (1990) 的符号，三项式系数 (n; k)_2，其中 n>=0 且 -n<=k<=n，由 x^(n+k) 在 (1+x+x^2)^n 的展开式中的系数给出。因此，

(n; -k)_2=(n; k)_2.
(1)

三项式系数可以用闭合形式给出

(n; k)_2={1 for n=k=0; C_(k+n)^((-n))(-1/2) otherwise,
(2)

其中 C_n^((lambda))(z) 是 Gegenbauer 多项式。

等价地，三项式系数由下式定义

(1+x+x^(-1))^n=sum_(k=-n)^n(n; k)_2x^k.
(3)

三项式系数也具有生成函数

f(w,z)=1/(1-z(1+w+w^2))
(4)
=1+z(1+w+w^2)+z^2(1+2w+3w^2+2w^3+w^4)+...,
(5)

即，

sum_(n=0)^inftysum_(k=-n)^n(n; -k)_2z^nw^(k+n)=1/(1-z(1+w+w^2)).
(6)

三项式三角形给出了三项式系数的三角形，

1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1
(7)

(OEIS A027907)。

三项式三角形的中心列给出了中心三项式系数。

三项式系数也由 n 个符号的排列数给出，每个符号为 -1、0 或 1，它们的和为 k。例如，有七个三个符号的排列，其和为 0，{-1,0,1}、{-1,1,0}、{0,-1,1}、{0,0,0} 和 {0,1,-1}、{1,-1,0}、{1,0,-1}，所以 (3; 0)_2=7。

三项式系数的另一种（但不同的）定义是 (x+y+z)^n (Andrews 1990) 中的系数，因此是 多项式系数，其中 k=3，给出

(n_1,n_2,n_3)!=((n_1+n_2+n_3)!)/(n_1!n_2!n_3!).
(8)

关于三项式系数的文献相当稀少，尽管 Euler (在 1765 年) 撰写了一篇 20 页的论文来探讨它们的性质 (Andrews 1990)。

下表给出了三项式三角形的前几列。

kOEIS(n,k)-三项式系数
0A0024261, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, 8953, ...
1A0057171, 2, 6, 16, 45, 126, 357, 1016, 2907, 8350, ...
2A0145311, 3, 10, 30, 90, 266, 784, 2304, ...
3A0145321, 4, 15, 50, 161, 504, 1554, 4740, ...
4A0145331, 5, 21, 77, 266, 882, 2850, 9042, ...
5A0984701, 6, 28, 112, 414, 1452, 4917, ...

对角线 (n; n-k)_2 总结在下表中。

k(n; n-k)_2OEIS
01
1nA000027
21/2n(n+1)A000217
31/6(n-1)n(n+4)A005581
41/(24)(n-1)n(n^2+7n-6)A005712
51/(120)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+12)A000574
61/(720)(n-2)(n-1)n(n^3+18n^2+17n-120)A005714
71/(5040)(n-3)(n-2)(n-1)n(n^3+27n^2+116n-120)A005715
81/(40320)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+10)(n^2+23n-84)A005716

三项式系数满足一个类似于二项式系数的恒等式，即

(n; k)_2=(n-1; k-1)_2+(n-1; k)_2+(n-1; k+1)_2
(9)

(Andrews 1990)。

(n; k)_2 的显式公式由下式给出

(n; k)_2=sum_(j=0)^(n)(n!)/(j!(j+k)!(n-2j-k)!)
(10)
(n; k)_2=sum_(j=0)^(n)(-1)^j(n; j)(2n-2j; n-k-j)
(11)

(Andrews 1990)，由此给出闭合形式

(n; k)_2=(n!)/((n-k)!)_2F^~_1(1/2(k-n),1/2(k-n+1);k+1;4)
(12)
=((2n)!)/((n-k)!(n+k)!)_2F^~_1(-k-n,k-n;1/2-n;1/4),
(13)

其中 _2F^~_1(a,b;c;z) 是正则化超几何函数。

对于至少 n<2000 且 k<=n，(n; k)_2 为素数当且仅当 n=k+1 为素数（因为在这种情况下 (n; k)_2=n）或 (n,k)=(2,0)、(3, 0) 或 (4, 0)。目前尚不清楚此属性是否对所有 n 都成立。然而，k=1 列由下式明确给出

(n; 1)_2=nM_(n-1),
(14)

其中 M_k 是Motzkin 数，因此只能在 n=2 时为素数。

在 1765 年，Euler 注意到中心三项式系数的漂亮的近似恒等式

3(n+1; 0)_2-(n+2; 0)_2=F_n(F_n+1),
(15)

其中 F_n 是斐波那契数，仅当 n<=7 时成立 (Andrews 1990)。对于 n=0, 1, ...，左侧的前几个值是 (OEIS A103872)，而右侧的值是 0, 2, 2, 6, 12, 30, 72, 182, ... (OEIS A059727)。D. Knuth 将 Euler 著作中包含近似恒等式的几页内容发送给了 R. K. Guy，后者将其包含在他关于小数定律的文章中 (Guy 1990)。与此同时，Guy 在 Bateman 退休会议上遇到了 G. Andrews 并向他展示了它。半小时后，Andrews 回来并带来了 q 级数恒等式，Euler 的近似结果由此得出。 特别是，定义

E_n(a,b)=sum_(k=-infty)^infty[(n; 10k+a)_2-(n; 10k+b)_2]
(16)

给出了恒等式

E_n(1,2)=1/2F_n(F_n+1)
(17)
E_(n-1)(0,3)=1/2F_n(F_n+1)
(18)
E_(n+1)(0,1)=1/2F_n(F_n+1)
(19)
E_n(1,4)=F_(n+1)F_n
(20)
E_(n+1)(2,3)=F_(n+1)F_n
(21)
E_n(3,4)=1/2F_n(F_n-1)
(22)
E_(n-1)(2,5)=1/2F_n(F_n-1)
(23)
E_(n+1)(4,5)=1/2F_n(F_n-1)
(24)
E_n(1,3)=1/2(F_(2n)+F_n)
(25)
E_n(2,4)=1/2(F_(2n)-F_n)
(26)
E_n(1,5)=1/2(F_(2n+1)-F_(n-1))
(27)
E_n(0,4)=1/2(F_(2n+1)+F_(n-1))
(28)
E_n(0,2)=1/2(F_(2n-1)+F_(n+1))
(29)
E_n(3,5)=1/2(F_(2n-1)-F_(n+1))
(30)
E_n(0,5)=F_(2n-1)+F_nF_(n-1)
(31)

(Andrews 1990)。这随后通过以下方式得出近似恒等式

3(n+1; 0)_2-(n+2; 0)_2=2(n+1; 0)_2-2(n+1; 1)_2
(32)
=2E_(n+1)(0,1) for n<=7
(33)
=F_n(F_n+1) for n<=7.
(34)

Andrews (1990) 还给出了漂亮的恒等式

sum_(k=-infty)^infty(n; 10k+a)_2={1/2F_n^2+1/2F_(n-1)^2+1/2F_(n-1)F_n+2/5F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=0; 1/2F_(n-1)F_nF_n+1/2F_n^2-1/(10)F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=1; 1/2F_(n-1)F_n-1/(10)F_(n-1)-3/(10)F_n+1/(10)3^n for a=2; -1/2F_(n-1)F_n-1/(10)F_(n-1)-3/(10)F_n+1/(10)3^n for a=3; -1/2F_(n-1)F_n-1/2F_n^2-1/(10)F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=4; -1/2F_(n-1)^2-1/2F_(n-1)F_n-1/2F_n^2+2/5F_(n-1)+1/5F_n+1/(10)3^n for a=5.
(35)

另请参阅

二项式系数, 中心三项式系数, Motzkin 数, 多项式系数, 三项式, 三项式三角形

使用 探索

参考文献

Andrews, G. "Euler's 'exemplum memorabile inductionis fallacis' and q-Trinomial Coefficients." J. Amer. Math. Soc. 3, 653-669, 1990.Andrews, G. and Baxter, R. J. "Lattice Gas Generalization of the Hard Hexagon Model. III. q-Trinomial Coefficients." J. Stat. Phys. 47, 297-330, 1987.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 78, 1974.Hoggatt, V. E. Jr., and Bicknell, M. "Diagonal Sums of Generalized Pascal Triangles." Fib. Quart. 7, 341-358 and 393, 1969.Euler, L. "Exemplum Memorabile Inductionis Fallacis." Opera Omnia, Series Prima, Vol. 15. Leipzig, Germany: Teubner, 50-69, 1911.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 575, 1990.Guy, R. K. "The Second Strong Law of Small Numbers." Math. Mag. 63, 3-20, 1990.Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 1: Power Series-Integration-Conformal Mapping-Location of Zeros. New York: Wiley, p. 42, 1988.Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, p. 74, 1979.Shapiro, L. W.; Getu, S.; Woan, W.-J.; and Woodson, L. C. "The Riordan Group." Disc. Appl. Math. 34, 229-239, 1991.Sloane, N. J. A. Sequences A000027, A000217, A000574, A002426/M2673, A005581, A005712, A005714, A005715, A005716, A005717/M1612, A014531, A014532, A014533, A027907, A059727, A098470, and A103872 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Warnaar, S. O. "q-Trinomial Identities." 5 Oct. 1998. http://arxiv.org/abs/math/9810018.

在 中被引用

三项式系数

请引用为

Weisstein, Eric W. “三项式系数。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TrinomialCoefficient.html

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