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棱锥台

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PyramidalFrustum1
PyramidalFrustum2
PyramidalFrustum3
PyramidalFrustum4

棱锥台是通过削去棱锥顶部而形成的锥截体。它是拟柱体的一个特例。

对于直棱锥台，设 s 为斜高，h 为高，p_1 为底面周长，p_2 为顶面周长，A_1 为底面面积，以及 A_2 为顶面面积。那么棱锥台的表面积（侧面）和体积由下式给出

S=1/2(p_1+p_2)s
(1)
V=1/3h(A_1+A_2+sqrt(A_1A_2)).
(2)

几何质心在直棱锥台中出现在高度

z^_=(h(A_1+2sqrt(A_1A_2)+3A_2))/(4(A_1+sqrt(A_1A_2)+A_2))
(3)

高于底面的位置 (Harris and Stocker 1998)。

直 n-角锥台的底面是边长为 a 和 b 的正多边形，其外接圆半径为

R_n=1/2ccsc(pi/n),
(4)

其中 c 是边长，因此连接顶部和底部对应顶点的对角线长度为

x_n=1/2(a-b)csc(pi/n),
(5)

且边长为

e_n=sqrt(d^2+h^2)
(6)
=sqrt(1/4csc^2(pi/n)(a-b)^2+h^2).
(7)

因此，三角形 (n=3) 和正方形 (n=4) 直棱锥台的侧表面积为

S_3=3/2(a+b)sqrt(1/3(a-b)^2+h^2)
(8)
S_4=2(a+b)sqrt(1/2(a-b)^2+h^2).
(9)

正 n-边形的面积是

A_n=1/4nc^2cot(pi/n),
(10)

因此，这些锥台的体积为

V_3=1/(12)sqrt(3)(a^2+ab+b^2)h
(11)
V_4=1/3(a^2+ab+b^2)h.
(12)

参见

圆锥台, 锥截体, 海伦平均数, 棱锥, 球冠, 正方棱锥台

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参考文献

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 128, 1987.Dunham, W. Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. New York: Wiley, pp. 3-4, 1990.Eves, H. A Survey of Geometry, rev. ed. Boston, MA: Allyn & Bacon, p. 7, 1965.Harris, J. W. and Stocker, H. "Frustum of a Pyramid." §4.3.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 99, 1998.Kern, W. F. and Bland, J. R. "Frustum of Regular Pyramid." §28 in Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 67-71, 1948.

在 Wolfram|Alpha 上引用

棱锥台

请引用为

Weisstein, Eric W. "棱锥台." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PyramidalFrustum.html

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