四面体方程

四面体方程，类似于 二十面体方程，是一组与 正八面体 的射影几何相关的方程。考虑一个以 为中心的 四面体，其 -轴方向为四重 () 旋转对称轴，并且顶部三个边之一位于 -平面内（左图）。在此图中，顶点显示为黑色，面中心显示为红色，边中点显示为蓝色。

最简单的四面体方程是通过使用从其 外接球 南极到平面 的 球面投影，投影单位 外接圆半径 的四面体的顶点来定义的，并将这些顶点位置（在复 -平面中解释为复数）表示为代数方程的根。结果投影如上左图所示，黑点是顶点位置。得到的方程是

(1)

其中 在这里指的是复平面中的坐标（不是投影平面上方的高度）。

如果改为投影单位 内切圆半径 的四面体（上图第二个图），则表示面中心位置（红点）的方程由下式给出

(2)

最后，如果投影单位 中半径 的八面体（上图右图），则表示边中点位置（蓝点）的方程由下式给出

(3)

请注意，由于这些方程涉及变量的 3 次幂的倍数，因此将实体旋转 弧度会改变量从 到 ，从而产生相同的方程模 次幂的负号，这对应于绕虚轴翻转根的位置。

如果四面体改为定向，使其顶部和底部面平行于 -平面，则给出投影顶点、面中心和边中点的相应方程为

	(4)
	(5)
	(6)

分别。