八面体方程

八面体方程，类似于二十面体方程，是一组相关方程，源于八面体的射影几何。考虑一个八面体，中心位于，轴沿着四重 () 旋转对称轴定向，并且顶部四个边之一位于平面内（左图）。在此图中，顶点以黑色显示，面中心以红色显示，边中点以蓝色显示。

最简单的八面体方程是通过使用从其外接球南极到平面的球极投影，投影单位外接圆半径的八面体的顶点来定义的，并将这些顶点位置（在复平面中解释为复数量）表示为代数方程的根。结果投影如上左图所示，黑点为顶点位置。结果方程是

(1)

其中此处指的是复平面中的坐标（不是投影平面上方的高度），并且方程是 5 阶而不是 6 阶，因为位于的顶点被变换为无穷远并已被省略。

如果改为投影单位内切圆半径的八面体（上图第二个图），则表示面中心位置（红点）的方程由下式给出

(2)

最后，如果投影单位中半径的八面体（上图右图），则表示边中点位置（蓝点）的方程由下式给出

(3)

请注意，由于这些方程涉及变量的 4 次幂倍数，因此将实体旋转弧度会使量从变为，从而产生相同的方程，模负号在的奇次幂中，这对应于将根的位置绕虚轴翻转。

如果八面体改为定向，使其顶面和底面平行于平面，则给出投影顶点、面中心和边中点的相应方程为

	(4)
	(5)
	(6)

分别地。