五边形平方三角形数是同时为五边形数 
、平方数 
和三角形数 
的数。这需要求解丢番图方程组。
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可以通过检查五边形三角形数（对于这种数存在闭式解）直到某个上限，来搜索该系统的解，以查看是否有任何数也是平方数。除了平凡的情况
之外，使用这种方法表明，前 9690 个五边形三角形数都不是平方数，因此表明不存在小于
的其他五边形平方三角形数（E. W. Weisstein，9 月 12 日，2003 年）。
因此，几乎可以肯定不存在其他解，尽管这一事实的证明似乎尚未在印刷品中出现。然而，J. Sillcox（私人通信，2003 年 11 月 8 日和 2006 年 2 月 17 日）最近的工作可能最终解决了这个问题。这项工作使用了 Anglin（1996）的一篇论文，该论文证明了同时佩尔方程 
在 
的情况下恰好有 19900 个解。例如，如果 
且 
，则 
是一个解。然后 Sillcox 表明，五边形平方三角形数问题等价于求解 
，使其在 Anglin 证明的范围内。对于 
和 
，仅存在平凡解。
