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黎曼素数计数函数

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RiemannPrimeCountingFunction

黎曼将函数 f(x) 定义为

f(x)=sum_(p^(nu)<=x; p prime)1/nu
(1)
=sum_(n=1)^(|_lgx_|)(pi(x^(1/n)))/n
(2)
=pi(x)+1/2pi(x^(1/2))+1/3pi(x^(1/3))+...
(3)

(Hardy 1999, 第 30 页; Borwein et al. 2000; Havil 2003, 第 189-191 和 196-197 页; Derbyshire 2004, 第 299 页), 有时表示为 pi^*(x), J(x) (Edwards 2001, 第 22 和 33 页; Derbyshire 2004, 第 298 页), 或 Pi(x) (Havil 2003, 第 189 页)。 请注意，这不是一个无限级数，因为当从 n=|_lgx_| 开始时，项变为零，其中 |_x_| 是 向下取整函数，而 lgx 是以 2 为底的对数。 对于 x=1, 2, ..., 前几个值是 0, 1, 2, 5/2, 7/2, 7/2, 9/2, 29/6, 16/3, 16/3, ... (OEIS A096624 和 A096625)。 可以看出，当 x 是素数时，f(x) 跳跃 1；当它是素数的平方时，它跳跃 1/2；当它是素数的立方时，它跳跃 1/3；等等 (Derbyshire 2004, 第 300-301 页)，如上图所示。

令人惊讶的是，素数计数函数 pi(x) 通过 莫比乌斯变换 与 f(x) 相关

pi(x)=sum_(n=1)^infty(mu(n))/nf(x^(1/n)),
(4)

其中 mu(n) 是 莫比乌斯函数 (Riesel 1994, 第 49 页; Havil 2003, 第 196 页; Derbyshire 2004, 第 302 页)。 更令人惊讶的是，f(x) 与 黎曼 zeta 函数 zeta(s) 相关，关系如下：

(ln[zeta(s)])/s=int_0^inftyf(x)x^(-s-1)dx
(5)

(Riesel 1994, 第 47 页; Edwards 2001, 第 23 页; Derbyshire 2004, 第 309 页)。 f(x) 也由下式给出

f(x)=lim_(t->infty)1/(2pii)int_(2-iT)^(2+iT)(x^s)/slnzeta(s)ds,
(6)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数, 并且 (5) 和 (6) 构成 梅林变换 对。

RiemannFunctionF

黎曼 (1859) 提出

f(x)=li(x)-sum_(rho)li(x^rho)-ln2+int_x^infty(dt)/(t(t^2-1)lnt),
(7)

其中 li(x) 是 对数积分，求和是对 黎曼 zeta 函数 zeta(z) 的所有非平凡零点 rho 进行的 (Mathews 1961, 第 10 章; Landau 1974, 第 19 章; Ingham 1990, 第 4 章; Hardy 1999, 第 40 页; Borwein et al. 2000; Edwards 2001, 第 33-34 页; Havil 2003, 第 196 页; Derbyshire 2004, 第 328 页)。 实际上，由于根的和仅条件收敛，因此即使将项 rho 与它们的 “孪生子” 1-rho 配对，也必须按 I[rho] 递增的顺序求和，因此

sum_(rho)li(x^rho)=sum_(I[rho]>0)[Li(x^rho)+Li(x^(1-rho))]
(8)

(Edwards 2001, 第 30 和 33 页)。

这个公式随后被 Mangoldt (1895; Riesel 1994, 第 47 页; Edwards 2001, 第 48 和 62-65 页) 证明。 右侧的积分仅在 x>1 时收敛，但由于没有小于 2 的素数，因此唯一感兴趣的值是 x>=2。 由于它是单调递减的，因此最大值出现在 x=2，其值为

int_2^infty(dt)/(tlnt(t^2-1))=0.14001010114328692668...
(9)

(OEIS A096623; Derbyshire 2004, 第 329 页)。

RiemannR

黎曼还考虑了函数

R(x)=sum_(n=1)^infty(mu(n))/nli(x^(1/n)),
(10)

有时也表示为 Ri(x) (Borwein et al. 2000)，通过将黎曼函数中的 f(x^(1/n)) 替换为 对数积分 li(x^(1/n)) 获得，其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数，而 mu(n) 是 莫比乌斯函数 (Hardy 1999, 第 16 和 23 页; Borwein et al. 2000; Havil 2003, 第 198 页)。 R(x) 在上面绘制，包括在半对数刻度上（底部两个图），这说明了 R(x) 在原点附近有一系列零点。 这些零点出现在 10^(-x) 对于 x=14827.7 (OEIS A143530), 15300.7, 21381.5, 25461.7, 32711.9, 40219.6, 50689.8, 62979.8, 78890.2, 98357.8, ..., 对应于 x=1.829×10^(-14828) (OEIS A143531), 2.040×10^(-15301), 3.289×10^(-21382), 2.001×10^(-25462), 1.374×10^(-32712), 2.378×10^(-40220), 1.420×10^(-50690), 1.619×10^(-62980), 6.835×10^(-78891), 1.588×10^(-98358), ....

RiemannPrimeNumberFormula

数量 R(x)-pi(x) 在上面绘制。

此函数在 Wolfram 语言中实现为RiemannR[x]。

拉马努金独立地推导出了 R(n) 的公式，但不够严谨 (Berndt 1994, 第 123 页; Hardy 1999, 第 23 页)。 下表比较了 pi(10^n) 和 R(10^n) 对于小的 n 值。 黎曼推测 R(n)=pi(n) (Knuth 1998, 第 382 页)，但 Littlewood 在 1914 年 (Hardy 和 Littlewood 1918) 证明了这是错误的。

GramSeriesRiemannComparison

黎曼素数计数函数与 格拉姆级数 相同

G(x)=1+sum_(k=1)^infty((lnx)^k)/(kk!zeta(k+1)),
(11)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数 (Hardy 1999, 第 24-25 页)，但格拉姆级数对于数值计算更易于处理。 例如，上面的图显示了差值 G(x)-R(x)，其中 R(x) 是使用 Wolfram 语言的内置NSum命令（黑色），并使用前 10^1（蓝色）、10^2（绿色）、10^3（黄色）、10^4（橙色）和 10^5（红色）点进行近似。

在表中，[x] 表示 最接近的整数函数。 请注意，Hardy (1999, 第 26 页) 给出的 x=10^9 的值是不正确的。

nnint(R(10^n))nint(R(10^n)-pi(10^n))
SloaneA057793A057794
151
2261
31680
41227-2
59587-5
67852729
766466788
8576155297
950847455-79
10455050683-1828
114118052495-2318
1237607910542-1476

黎曼函数通过下式与素数计数函数相关

pi(x)=R(x)-sum_(rho)R(x^rho),
(12)

其中求和是对 zeta(s) 的所有复数（非平凡）零点 rho 进行的 (Ribenboim 1996)，即临界带中的那些零点，使得 0<R[rho]<1，解释为意味着

sum_(rho)R(x^rho)=lim_(t->infty)sum_(|I(rho)|<t)R(x^rho).
(13)

然而，(12) 相等的证明似乎在文献中不存在 (Borwein et al. 2000)。

另请参阅

格拉姆级数, 素数计数函数, 素数定理, 黎曼函数, 黎曼猜想, Soldner 常数

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参考文献

Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; and Crandall, R. E. "黎曼 Zeta 函数的计算策略。" J. Comput. Appl. Math. 121, 247-296, 2000.Berndt, B. C. 拉马努金的笔记本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, 1994.Derbyshire, J. 素数迷恋：伯恩哈德·黎曼和数学中最伟大的未解问题。 New York: Penguin, 2004.Edwards, H. M. 黎曼 Zeta 函数。 New York: Dover, 2001.Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. Acta Math. 41, 119-196, 1918.Hardy, G. H. "级数 R(x)。" §2.3 in 拉马努金：关于他的生活和工作提出的主题的十二讲，第三版。 New York: Chelsea, 1999.Havil, J. Gamma：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 42, 2003.Ingham, A. E. 素数分布。 London: Cambridge University Press, p. 83, 1990.Knuth, D. E. 计算机程序设计艺术，第 2 卷：半数值算法，第三版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Landau, E. 素数分布理论手册，第三版。 New York: Chelsea, 1974.Mangoldt, H. von. "关于黎曼的论文 '论给定大小以下的素数个数' 。" J. reine angew. Math. 114, 255-305, 1895.Mathews, G. B. 第 10 章 in 数论理论。 New York: Chelsea, 1961.Ribenboim, P. 新素数记录书。 New York: Springer-Verlag, pp. 224-225, 1996.Riemann, G. F. B. "论给定大小以下的素数个数。" Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671-680, Nov. 1859. Reprinted in 连续统和其他专著 (Ed. H. Weyl). New York: Chelsea, 1972. Also reprinted in English translation in Edwards, H. M. Appendix. 黎曼 Zeta 函数。 New York: Dover, pp. 299-305, 2001.Riemann, B. "论通过三角级数表示函数的可行性。" Reprinted in Gesammelte math. Abhandlungen. New York: Dover, pp. 227-264, 1957.Riesel, H. and Göhl, G. "与黎曼素数公式相关的一些计算。" Math. Comput. 24, 969-983, 1970.Riesel, H. "黎曼素数公式。" 素数和计算机分解方法，第二版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 50-52, 1994.Sloane, N. J. A. 序列 A057793, A057794, A096623, A096624, A096625, A143530, A143531 in "整数序列在线百科全书。"Wagon, S. Mathematica 在行动。 New York: W. H. Freeman, pp. 28-29 和 362-372, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上引用

黎曼素数计数函数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "黎曼素数计数函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RiemannPrimeCountingFunction.html

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