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梅林变换

梅林变换是由下式定义的积分变换

phi(z)=int_0^inftyt^(z-1)f(t)dt
(1)
f(t)=1/(2pii)int_(c-iinfty)^(c+iinfty)t^(-z)phi(z)dz.
(2)

它在 Wolfram 语言 中实现为MellinTransform[expr, x, s].

如果积分

int_0^infty|f(x)|x^(k-1)dx
(3)

对于某些 k>0 是有界的，则变换 phi(z) 存在，在这种情况下，逆变换 f(t) 存在，其中 c>k。phi(z) 和 f(t) 函数被称为梅林变换对，如果已知其中一个，则可以计算另一个。

下表给出了常用函数的梅林变换（Bracewell 1999, p. 255）。这里，delta 是 delta 函数，H(x) 是 Heaviside 阶跃函数，Gamma(z) 是 gamma 函数，B(z;a,b) 是 不完全 beta 函数，erfcz 是互补误差函数 erfc，以及 Si(z) 是 正弦积分。

f(t)phi(z)收敛性
delta(t-a)a^(z-1)
H(t-a)-(a^z)/za>0,z<0
H(a-t)(a^z)/za>0,z>0
t^nH(t-a)-(a^(n+z))/(n+z)a>0,R[z+n]<0
t^nH(a-t)(a^(n+z))/(n+z)a>0,R[n+z]>0
e^(-at)a^(-z)Gamma(z)R[a],R[z]>0
e^(-t^2)1/2Gamma(1/2z)R[z]>0
sintGamma(z)sin(1/2piz)-1<R[z]<1
costGamma(z)cos(1/2piz)0<R[z]<1
1/(1+t)picsc(piz)0<R[z]<1
1/((1+t)^a)(Gamma(a-z)Gamma(z))/(Gamma(a))R[a-z]>0,R[z]>0
1/(1+t^2)1/2picsc(1/2piz)0<R[z]<2
(1-t)^(a-1)H(1-t)(Gamma(a)Gamma(z))/(Gamma(a+z))R[a],R[z]>0
(t-1)^(-a)H(t-1)(Gamma(1-a)Gamma(a-z))/(Gamma(1-x))R[a-z]>0,R[a]<1
ln(1+t)(picsc(piz))/z-1<R[z]<0
1/2pi-tan^(-1)t(pisec(1/2piz))/(2z)0<R[z]<1
erfct(Gamma(1/2(1+z)))/(sqrt(pi)z)R[z]>0
Si(t)-1/zGamma(z)sin(1/2piz)R[z]>-1
(t^a)/(1-t)H(t-a)-B(a^(-1);1-a-z;0)a>1,R[a+z]<1

梅林变换的另一个例子是 黎曼函数 f(x) 和 黎曼 zeta 函数 zeta(s) 之间的关系，

f(x)=lim_(t->infty)1/(2pii)int_(2-iT)^(2+iT)(x^s)/slnzeta(s)ds
(4)
(lnzeta(s))/s=int_1^inftyf(x)x^(-s-1)dx.
(5)

一个相关的对子在 素数定理 的一个证明中使用（Titchmarsh 1987, pp. 51-54 和公式 3.7.2）。

另请参阅

傅里叶变换, 积分变换, Strassen 公式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 795, 1985.Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 254-257, 1999.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "Mellin Transform." §17.41 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1193-1197, 2000.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 469-471, 1953.Oberhettinger, F. Tables of Mellin Transforms. New York: Springer-Verlag, 1974.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. "Evaluation of Integrals and the Mellin Transform." Itogi Nauki i Tekhniki, Seriya Matemat. Analiz 27, 3-146, 1989.Titchmarsh, E. C. The Theory of the Riemann Zeta Function, 2nd ed. New York: Clarendon Press, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 567, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

梅林变换

请引用为

Weisstein, Eric W. "梅林变换。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/MellinTransform.html

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