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雅可比符号

雅可比符号，写作 (n/m) 或 (n/m)，定义为正 奇 m 为

(n/m)=(n/(p_1))^(a_1)(n/(p_2))^(a_2)...(n/(p_k))^(a_k),
(1)

其中

m=p_1^(a_1)p_2^(a_2)...p_k^(a_k)
(2)

是 m 的素因数分解，而 (n/p_i) 是勒让德符号。（勒让德符号等于 +/-1，取决于 n 是否为模 m 的二次剩余。） 因此，当 m 是素数时，雅可比符号简化为勒让德符号。 与勒让德符号类似，雅可比符号通常被推广为具有值

(n/m)=0 if GCD(m,n)!=1,
(3)

给出

(n/n)=0
(4)

作为一个特例。 请注意，雅可比符号对于 m<=0 或 m 偶数未定义。 雅可比符号在 Wolfram 语言中实现为JacobiSymbol[n, m].

雅可比符号的使用提供了二次互反律的推广

(m/n)(n/m)=(-1)^((m-1)(n-1)/4)
(5)

对于 m 和 n 互素 奇 整数，且 n>=3 (Nagell 1951, pp. 147-148)。 换句话说，

(m/n)=(-1)^((m-1)(n-1)/4)(n/m)
(6)

或

(n/m)={(m/n) for m or n=1 (mod 4); -(m/n) for m,n=3 (mod 4).
(7)

雅可比符号满足与勒让德符号相同的规则

(n/m)(n/(m^'))=(n/((mm^')))
(8)
(n/m)((n^')/m)=(((nn^'))/m)
(9)
((n^2)/m)=(n/(m^2))=1 if (m,n)=1
(10)
(n/m)=((n^')/m) if n=n^' (mod m)
(11)
((-1)/m)=(-1)^((m-1)/2)={1 for m=1 (mod 4); -1 for m=-1 (mod 4)
(12)
(2/m)=(-1)^((m^2-1)/8)={1 for m=+/-1 (mod 8); -1 for m=+/-3 (mod 8)
(13)

Bach 和 Shallit (1996) 展示了如何根据有理数 n/m 的简单连分数计算雅可比符号。

参见

克罗内克符号, 勒让德符号, 二次剩余

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/JacobiSymbol/

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参考文献

Bach, E. 和 Shallit, J. 算法数论，第 1 卷：高效算法。 Cambridge, MA: MIT Press, pp. 343-344, 1996.Bressoud, D. M. 和 Wagon, S. 计算数论课程。 London: Springer-Verlag, p. 189, 2000.Guy, R. K. "二次剩余。 Schur 猜想。" §F5 在 数论中未解决的问题，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 244-245, 1994.Nagell, T. "雅可比符号和互反律的推广。" §42 在 数论导论。 New York: Wiley, pp. 145-149, 1951.Riesel, H. "雅可比符号。" 素数和因子分解的计算机方法，第 2 版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 281-284, 1994.

引用为

Weisstein, Eric W. "雅可比符号。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/JacobiSymbol.html

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