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抛物线的垂足曲线

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具有参数方程的垂足曲线，其抛物线为

x=at^2
(1)
y=2at
(2)

当垂足点为 (x_0,y_0) 时，是

x_p=((x_0-a)t^2+y_0t)/(t^2+1)
(3)
y_p=(at^3+x_0t+y_0)/(t^2+1).
(4)

在圆锥曲线准线上，抛物线的垂足曲线是箕舌线（左上）。在圆锥曲线准线的垂足上，它是直箕舌线（中上）。在焦点关于圆锥曲线准线的反射点上，它是麦克劳林三分线（右上）。在抛物线顶点上，它是蔓叶线（左下；Gray 1997，第 119 页）。在焦点上，它是一条直线（右下；Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 26-27 页）。在对称轴上，对于 a=1 的抛物线，它是笛沙格蚌线（H. Smith，私人通讯，2004 年 8 月 4 日）。下表总结了这些特殊情况。

垂足点垂足曲线
准线箕舌线
准线的垂足直箕舌线
焦点关于准线的反射麦克劳林三分线
抛物线顶点蔓叶线
焦点直线
a=1 的抛物线的轴线笛沙格蚌线

另请参阅

抛物线, 抛物线的负垂足曲线, 垂足曲线

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参考文献

Ameseder, A. "Ueber Fusspunktcurven der Kegelschnitte." Archiv Math. u. Phys. 64, 143-144, 1879.Ameseder, A. "Zur Theorie der Fusspunktencurven der Kegelschnitte." Archiv Math. u. Phys. 64, 145-163, 1879.Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica，第二版 Boca Raton, FL: CRC Press, 1997.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination。 New York: Chelsea, 1999.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves。 New York: Dover, pp. 94-97, 1972.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

抛物线的垂足曲线

请引用为

韦斯泰因，埃里克·W. "抛物线的垂足曲线。" 出自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ParabolaPedalCurve.html

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