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卡迈克尔函数

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卡迈克尔函数有两种定义。一种是缩减的欧拉函数（也称为最小通用指数函数），定义为最小整数 lambda(n)，使得对于所有与 n 互质的 k，k^(lambda(n))=1 (mod n)。乘法阶 a (mod n) 最多为 lambda(n) (Ribenboim 1989)。此函数的前几个值，实现为CarmichaelLambda[n]，是 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, ... (OEIS A002322)。

它由以下公式给出

lambda(n)=LCM[(p_i-1)p_i^(alpha_i-1)]_i,
(1)

其中 p_i^(alpha_i) 是素数幂。

它可以递归地定义为

lambda(n)={phi(n) for n=p^alpha, with p=2 and alpha<=2, or p>=3; 1/2phi(n) for n=2^alpha and alpha>=3; LCM[lambda(p_i^(alpha_i))]_i for n=product_(i)p_i^(alpha_i).
(2)

一些特殊值包括

lambda(2^n)={1 for n=1, n=2; 2 for n=2; 2^(n-2) otheriwse
(3)

和

lambda(n!)={1 for n=1, n=2; 2 for n=3; 4 for n=5; (n!)/(2n#) otherwise,
(4)

其中 n# 是素数阶乘（S. M. Ruiz，私人通讯，2009 年 7 月 5 日）。

第二个卡迈克尔函数 lambda^'(n) 由 最小公倍数 (LCM) 给出，该最小公倍数是 欧拉函数 phi(n) 的所有因子的最小公倍数，但如果 8|n，则 因子为 2^(alpha-2)，而不是 2^(alpha-1)。lambda^'(n) 的前几个 n 的值为 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 2, 12, ... (OEIS A011773)。

此函数具有特殊值

lambda^'(p^r)=phi(p^r)
(5)

对于奇素数 p 和 r>=1。

参见

模乘法群, 欧拉函数

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/CarmichaelLambda/

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参考文献

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, p. 27, 1989.Riesel, H. "Carmichael's Function." Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 273-275, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A002322/M0298 and A011773 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Redwood City, CA: Addison-Wesley, p. 226, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中引用

卡迈克尔函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Carmichael Function." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CarmichaelFunction.html

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