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雅可比塔尔数

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雅可比塔尔数是通过 U_ns 在 卢卡斯序列 中，其中 P=1 且 Q=-2，对应于 a=2 和 b=-1。它们和雅可比塔尔-卢卡斯数（V_ns）满足以下递推关系

J_n=J_(n-1)+2J_(n-2).
(1)

雅可比塔尔数满足 J_0=0 和 J_1=1，并且是 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, ... (OEIS A001045)。雅可比塔尔-卢卡斯数满足 j_0=2 和 j_1=1，并且是 2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, ... (OEIS A014551)。这些数的性质总结在 Horadam (1996) 中。

微控制器（和其他计算机）使用条件指令来改变程序的执行流程。除了分支指令外，一些微控制器使用跳过指令，有条件地绕过下一条指令。这最终对于 2 位中的四种可能性中的一种情况、3 位中的三种情况、4 位中的五种情况、5 位中的 11 种情况、6 位中的 21 种情况、7 位中的 43 种情况、8 位中的 85 种情况... 非常有用，这些情况正好是雅可比塔尔数 (Hirst 2006)。

雅可比塔尔数和雅可比塔尔-卢卡斯数由以下闭式表达式给出

J_n=sum_(r=0)^(|_(n-1)/2_|)(n-1-r; r)2^r
(2)
j_n=sum_(r=0)^(|_n/2_|)n/(n-r)(n-r; r)2^r,
(3)

其中 |_x_| 是向下取整函数，(n; k) 是二项式系数。比内公式为

J_n=1/3(a^n-b^n)
(4)
=1/3[2^n-(-1)^n]
(5)
j_n=a^n+b^n
(6)
=2^n+(-1)^n.
(7)

令人惊讶的是，当以二进制解释时，雅可比塔尔数 J_(n+2) 给出了将规则 28 元胞自动机应用于由单个黑色单元组成的初始条件的第 n 次迭代 (E. W. Weisstein, 2006 年 4 月 12 日)。

生成函数为

sum_(i=1)^inftyJ_ix^(i-1)=(1-x-2x^2)^(-1)
(8)
sum_(i=1)^inftyj_ix^(i-1)=(1+4x)(1-x-2x^2)^(-1).
(9)

辛普森公式为

J_(n+1)J_(n-1)-J_n^2=(-1)^n2^(n-1)
(10)
j_(n+1)j_(n-1)-j_n^2=9(-1)^(n-1)2^(n-1).
(11)

求和公式包括

sum_(i=2)^(n)J_i=1/2(J_(n+2)-3)
(12)
sum_(i=1)^(n)j_i=1/2(j_(n+2)-5).
(13)

相互关系为

j_nJ_n=J_(2n)
(14)
j_n=J_(n+1)+2J_(n-1)
(15)
9J_n=j_(n+1)+2j_(n-1)
(16)
j_(n+1)+j_n=3(J_(n+1)+J_n)=3·2^n
(17)
j_(n+1)-j_n=3(J_(n+1)-J_n)+4(-1)^(n+1)=2^n+2(-1)^(n+1)
(18)
j_(n+1)-2j_n=3(2J_n-J_(n+1))=3(-1)^(n+1)
(19)
2j_(n+1)+j_(n-1)=3(2J_(n+1)+J_(n-1))+6(-1)^(n+1)
(20)
j_(n+r)+j_(n-r)=3(J_(n+r)+J_(n-r))+4(-1)^(n-r)
(21)
=2^(n-r)(2^(2r)+1)+2(-1)^(n-r)
(22)
j_(n+r)-j_(n-r)=3(J_(n+r)-J_(n-r))=2^(n-r)(2^(2r)-1)
(23)
j_n=3J_n+2(-1)^n
(24)
3J_n+j_n=2^(n+1)
(25)
J_n+j_n=2J_(n+1)
(26)
j_(n+2)j_(n-2)-j_n^2=-9(J_(n+2)J_(n-2)-J_n)^2=9(-1)^n2^(n-2)
(27)
J_mj_n+J_nj_m=2J_(m+n)
(28)
j_mj_n+9J_mJ_n=2j_(m+n)
(29)
j_n^2+9J_n^2=2j_(2n)
(30)
J_mj_n-J_nj_m=(-1)^n2^(n+1)J_(m-n)
(31)
j_mj_n-9J_mJ_n=(-1)^n2^(n+1)j_(m-n)
(32)
j_n^2-9J_n^2=(-1)^n2^(n+2)
(33)

(Horadam 1996)。

另请参阅

雅可比塔尔-卢卡斯多项式, 雅可比塔尔多项式, 规则 28

使用 探索

参考文献

Bergum, G. E.; Bennett, L.; Horadam, A. F.; and Moore, S. D. "雅可比塔尔多项式和关于类斐波那契矩阵的猜想。" Fib. Quart. 23, 240-248, 1985.Hirst, C. "跳房子--多位测试。" 2006 年 5 月 15 日。 http://www.avrfreaks.net/index.php?module=FreaksAcademy&func=viewItem&item_id=229&item_type=project.Horadam, A. F. "雅可比塔尔曲线和佩尔曲线。" Fib. Quart. 26, 79-83, 1988.Horadam, A. F. "雅可比塔尔表示数。" Fib. Quart. 34, 40-54, 1996.Sloane, N. J. A. “整数数列在线百科全书”中的数列 A001045/M2482 和 A014551。Hoggatt and Bicknell, 在“卷积三角形”中，FQ 10 (1972), 599-608),

在 中引用

雅可比塔尔数

引用为

Weisstein, Eric W. “雅可比塔尔数。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/JacobsthalNumber.html

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