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介值定理

如果 f 在 闭区间 [a,b] 上连续，并且 c 是介于 f(a) 和 f(b) （包含端点）之间的任意数，那么在闭区间中至少存在一个数 x 使得 f(x)=c。

该定理的证明通过观察到 f([a,b]) 是连通的，因为连通集在连续函数下的像是连通的，其中 f([a,b]) 表示 区间 [a,b] 在函数 f 下的像。由于 c 介于 f(a) 和 f(b) 之间，它必然在这个连通集中。

介值定理（或者更确切地说，c=0 的情况，对应于波尔查诺定理）最早由波尔查诺 (Bolzano) (1817) 证明。虽然波尔查诺使用的技术在他那个时代被认为是特别严谨的，但在现代看来它们被认为是缺乏严谨性的 (Grabiner 1983)。

参见

波尔查诺定理, 康托尔交集定理, 海涅-博雷尔定理, 均值定理 在 MathWorld 课堂中探索此主题

此条目部分内容由 John Renze 贡献

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参考文献

Anton, H. 微积分与解析几何，第二版 纽约: Wiley, p. 189, 1984.Apostol, T. M. "连续函数的介值定理." §3.10 in 微积分，第二版，第一卷：单变量微积分，线性代数导论 Waltham, MA: Blaisdell, pp. 144-145, 1967.Bolzano, B. "Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege." Prague, 1817. English translation in Russ, S. B. "A Translation of Bolzano's Paper on the Intermediate Value Theorem." Hist. Math. 7, 156-185, 1980.Cauchy, A. Cours d'analyse. Reprinted in Oeuvres, series 2, vol. 3, pp. 378-380. English translation in Grabiner, J. V. The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 167-168, 1981.Grabiner, J. V. "谁给了你ε？柯西与严谨微积分的起源." Amer. Math. Monthly 90, 185-194, 1983.

请引用为

Renze, John 和 Weisstein, Eric W. "介值定理." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/IntermediateValueTheorem.html

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