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Golygon

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Golygon

在等间距格点集上的平面路径，从原点开始，第一步向北或向南移动一个单位，第二步向东或向西移动两个单位，第三步向北或向南移动三个单位，以此类推，直到再次到达原点。不允许交叉或回溯。最简单的golygon是 (0, 0), (0, 1), (2, 1), (2, -2), (-2, -2), (-2, -7), (-8, -7), (-8, 0), (0, 0)。

如果存在一个偶整数 n 使得

+/-1+/-3+/-...+/-(n-1)=0
(1)
+/-2+/-4+/-...+/-n=0
(2)

(Vardi 1991)。Gardner 证明了所有 golygon 都形如 n=8k。长度为 n ( 偶数) 的 golygon 的数量，其中每个初始方向分别计数，是 系数 乘积 x^(n^2/8) 在下式中的系数

product_(k=1,3,...)^(n-1)(x^k+1)=(-x;x^2)_(n/2),
(3)

以及 x^(n(n/2+1)/8) 在下式中的系数

product_(k=1)^(n/2)(x^k+1)=1/2(-1;x)_(n/2+1).
(4)

长度为 N(n) 的 golygon 数量 8n 对于前几个 n 的值分别为 4, 112, 8432, 909288, ... (OEIS A006718), 并且渐近于

N(n)∼(3·2^(8n-4))/(pin^2(4n+1))
(5)

(Sallows et al. 1991, Vardi 1991)。

另请参阅

规范多边形, 格路, 格点多边形

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参考文献

Dudeney, A. K. "An Odd Journey Along Even Roads Leads to Home in Golygon City." Sci. Amer. 263, 118-121, July 1990.Sallows, L. C. F. "New Pathways in Serial Isogons." Math. Intell. 14, 55-67, 1992.Sallows, L.; Gardner, M.; Guy, R. K.; and Knuth, D. "Serial Isogons of 90 Degrees." Math Mag. 64, 315-324, 1991.Sloane, N. J. A. Sequence A006718/M3707 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, H. J. "Golygons." http://www.geocities.com/hjsmithh/Golygons.html.Vardi, I. "American Science." §5.3 in Computational Recreations in Mathematica. Redwood City, CA: Addison-Wesley, pp. 90-96, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Golygon

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Golygon." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Golygon.html

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