无穷小旋转

一个向量 的无穷小变换由下式给出

(1)

其中矩阵 是无穷小的， 是单位矩阵。（请注意，无穷小变换可能不对应于反演，因为反演是一个不连续的过程。）无穷小变换 和 的交换性由以下等价性确立：

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			(3)
			(4)
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现在设

(6)

则逆矩阵 为 ，因为

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			(8)
			(9)

由于我们将无穷小变换定义为旋转，旋转矩阵的正交性要求：

(10)

但是

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			(12)
			(13)

所以 ，无穷小旋转是反对称的。因此，它必须具有矩阵的形式：

(14)

然后，应用旋转矩阵后，向量 的微分变化为：

(15)

以矩阵形式写入，

			(16)
			(17)
			(18)
			(19)

因此，

(20)

其中

(21)

在静止坐标系中观察到的总旋转将是旋转速度和旋转坐标系中的速度之和。然而，请注意，静止坐标系中的观察者将看到与旋转体坐标系中的观察者方向相反的速度，因此

(22)

这可以写成一个算符方程，称为旋转算符，定义为

(23)