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皮科内定理

设 f(x) 在 [-1,1] 上可积，设 (1-x^2)f(x) 在 [-1,1] 上是有界变差的，设 M^' 表示 |f(x)(1-x^2)| 在 [-1,1] 上的最小上界，且设 V^' 表示 f(x)(1-x^2) 在 [-1,1] 上的全变差。给定函数

F(x)=F(-1)+int_1^xf(x)dx,
(1)

则其傅里叶-勒让德级数的项

F(x)∼sum_(n=0)^inftya_nP_n(x)
(2)
a_n=1/2(2n+1)int_(-1)^1F(x)P_n(x)dx,
(3)

其中 P_n(x) 是勒让德多项式，满足不等式

|a_nP_n(x)|<{8sqrt(2/pi)(M^'+V^')/((1-delta^2)^(1/4))n^(-3/2) for |x|<=delta<1; 2(M^'+V^')n^(-1) for |x|<=1
(4)

对于 n>=1 (Sansone 1991)。

另请参阅

傅里叶-勒让德级数, 杰克逊定理

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参考文献

Picone, M. Appunti di Analise Superiore. Naples, Italy, p. 260, 1940.Sansone, G. Orthogonal Functions, rev. English ed. 纽约: Dover出版社, pp. 203-205, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

皮科内定理

引用本文为

韦斯坦, 埃里克·W. “皮科内定理。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PiconesTheorem.html

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