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椭圆渐屈线

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EllipseEvolute

由参数方程给出的椭圆的渐屈线

x=acost
(1)
y=bsint
(2)

由参数方程给出

x_e=(a^2-b^2)/acos^3t
(3)
y_e=(b^2-a^2)/bsin^3t.
(4)

消去 t 可以得到

(ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=[(a^2-b^2)cos^3t]^(2/3)+[(b^2-a^2)sin^3t]^(2/3)
(5)
=(a^2-b^2)^(2/3)(sin^2t+cos^2t)
(6)
=(a^2-b^2)^(2/3)
(7)
=c^(4/3),
(8)

这是一个拉伸的星形线，有时被称为拉梅曲线。

从渐屈线内部的点，可以画出四条到椭圆的法向量；从渐屈线上精确的点，可以画出三条法线；而从外部的点，只能画出两条法向量。

封闭的弧长和面积是

s=(4b^2)/a
(9)
A=(3pi(a^2-b^2)^2)/(8ab),
(10)

并且曲率和切线角是

kappa(t)=(a^2b^2)/(3|(a^2-b^2)costsint|(b^2cos^2t+a^2sin^2t)^(3/2))
(11)
phi(t)=tan^(-1)((atant)/b).
(12)

参见

星形线, 椭圆, 椭圆渐伸线, 渐屈线

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格, 28 版 Boca Raton, FL: CRC 出版社, p. 217, 1987.Gray, A. 使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何, 2 版 Boca Raton, FL: CRC 出版社, pp. 99-101, 1997.

引用为

魏斯stein，埃里克 W. "椭圆渐屈线." 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源. https://mathworld.net.cn/EllipseEvolute.html

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