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丢番图方程——四次幂

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作为马蒂亚谢维奇（Matiyasevich）对希尔伯特第十问题（Hilbert's 10th problem）的反驳的推论，可以证明不存在求解一般四次丢番图方程的通用算法。然而，构造这样一个不可解的四次丢番图方程的算法可能需要任意多的变量 (Matiyasevich 1993)。

作为华林问题（Waring's problem）研究的一部分，已知每个正整数都是不超过 19 个正四次幂之和 (g(4)=19)，每个“足够大的”整数都是不超过 16 个正四次幂之和 (G(4)=16)，并且每个整数都是至多 10 个有符号四次幂之和 (eg(4)<=10；尽管尚不清楚 10 是否可以减少到 9)。前几个数字 n 是四个四次幂（m-1 方程）之和，它们是 353, 651, 2487, 2501, 2829, ... (OEIS A003294)。

4.1.2 方程

x^4=y^4+z^4
(1)

是费马最后定理（Fermat's last theorem）中 n=4 的情况，因此无解。事实上，方程

x^4+/-y^4=z^2
(2)

在整数（integers）中也无解 (Nagell 1951, pp. 227 and 229)。方程

x^4-y^4=2z^2
(3)

在整数中无解 (Nagell 1951, p. 230)。唯一形式为（of the form）

4x^4+y^4
(4)

的素数（prime）是 5 (Baudran 1885, Le Lionnais 1983)。

令符号 p.m.n 表示由 m 个 p 次幂之和等于 n 个 p 次幂之和组成的方程。1772 年，欧拉提出 4.1.3 方程

A^4+B^4+C^4=D^4
(5)

在整数（integers）中无解 (Lander et al. 1967)。这个断言被称为欧拉四次猜想（Euler quartic conjecture）。Ward (1948) 表明，对于 D<=10000 无解，Lander et al. (1967) 随后将其改进为 D<=220000。然而，欧拉四次猜想（Euler quartic conjecture）在 1987 年被 N. Elkies 推翻，他使用几何构造发现

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4
(6)

并表明存在无限多个解 (Guy 1994, p. 140)。1988 年，Roger Frye 发现

95800^4+217519^4+414560^4=422481^4
(7)

并证明在更小的整数（integers）中没有解 (Guy 1994, p. 140)。Allan MacLeod 在 1997 年发现了另一个解，

638523249^4=630662624^4+275156240^4+219076465^4
(8)

(Ekl 1998)。目前尚不清楚是否存在参数解。相比之下，方程

A^4+B^4+C^4=2D^4
(9)

有许多解（见下文）。

4.1.4 方程

A^4+B^4+C^4+D^4=E^4
(10)

有解

30^4+120^4+272^4+315^4=353^4
(11)
240^4+340^4+430^4+599^4=651^4
(12)
435^4+710^4+1384^4+2420^4=2487^4
(13)
1130^4+1190^4+1432^4+2365^4=2501^4
(14)
850^4+1010^4+1546^4+2745^4=2829^4
(15)
2270^4+2345^4+2460^4+3152^4=3723^4
(16)
350^4+1652^4+3230^4+3395^4=3973^4
(17)
205^4+1060^4+2650^4+4094^4=4267^4
(18)
1394^4+1750^4+3545^4+3670^4=4333^4
(19)
699^4+700^4+2840^4+4250^4=4449^4
(20)
380^4+1660^4+1880^4+4907^4=4949^4
(21)
1000^4+1120^4+3233^4+5080^4=5281^4
(22)
410^4+1412^4+3910^4+5055^4=5463^4
(23)
955^4+1770^4+2634^4+5400^4=5491^4
(24)
30^4+1680^4+3043^4+5400^4=5543^4
(25)
1354^4+1810^4+4355^4+5150^4=5729^4
(26)
542^4+2770^4+4280^4+5695^4=6167^4
(27)
50^4+885^4+5000^4+5984^4=6609^4
(28)
1490^4+3468^4+4790^4+6185^4=6801^4
(29)
1390^4+2850^4+5365^4+6368^4=7101^4
(30)
160^4+1345^4+2790^4+7166^4=7209^4
(31)
800^4+3052^4+5440^4+6635^4=7339^4
(32)
2230^4+3196^4+5620^4+6995^4=7703^4
(33)
4450^4+5500^4+5670^4+7123^4=8373^4
(34)
4730^4+4806^4+5230^4+7565^4=8433^4
(35)
524^4+4910^4+5925^4+7630^4=8493^4
(36)
1642^4+3440^4+6100^4+7815^4=8517^4
(37)
1050^4+2905^4+5236^4+8230^4=8577^4
(38)
3450^4+3695^4+5780^4+8012^4=8637^4
(39)
816^4+3285^4+6180^4+8570^4=9137^4
(40)
680^4+2870^4+6435^4+8618^4=9243^4
(41)
5192^4+5800^4+6935^4+7820^4=9431^4
(42)
1394^4+1490^4+6935^4+8760^4=9519^4
(43)
305^4+5264^4+7050^4+8570^4=9639^4
(44)
2922^4+5490^4+6800^4+8835^4=9797^4
(45)
4840^4+5660^4+6485^4+8864^4=9877^4
(46)
1620^4+2294^4+8635^4+8870^4=10419^4
(47)
5300^4+5936^4+8530^4+9145^4=10939^4
(48)
3556^4+5300^4+8635^4+10490^4=11681^4
(49)
1476^4+4490^4+6200^4+11455^4=11757^4
(50)
1180^4+8170^4+8735^4+10144^4=12019^4
(51)
2833^4+3710^4+7270^4+11720^4=12167^4
(52)
7480^4+8655^4+8862^4+9360^4=12259^4
(53)
3450^4+4410^4+8925^4+11234^4=12287^4
(54)
320^4+7352^4+8045^4+11390^4=12439^4
(55)
1616^4+5780^4+6190^4+12435^4=12759^4
(56)
2935^4+6870^4+10310^4+10678^4=12771^4
(57)
2870^4+5934^4+5950^4+12845^4=13137^4
(58)
7025^4+7590^4+9712^4+11210^4=13209^4
(59)
1700^4+4975^4+7896^4+13040^4=13521^4
(60)
3440^4+3610^4+10738^4+12035^4=13637^4
(61)
1275^4+6420^4+8278^4+13410^4=14029^4
(62)
3929^4+6660^4+7920^4+13740^4=14297^4
(63)
34^4+210^4+2630^4+14405^4=14409^4
(64)
1530^4+8010^4+9498^4+13355^4=14489^4
(65)
1920^4+2040^4+9219^4+13900^4=14531^4
(66)
800^4+4682^4+10245^4+13760^4=14751^4
(67)
2512^4+4250^4+8940^4+14815^4=15309^4
(68)
3890^4+6800^4+11110^4+14579^4=15829^4
(69)
2880^4+5640^4+11815^4+14598^4=16027^4
(70)
4140^4+4790^4+7701^4+15780^4=16049^4
(71)
137^4+5430^4+6670^4+15940^4=16113^4
(72)
1088^4+2275^4+13110^4+14320^4=16359^4
(73)
1220^4+8830^4+12107^4+14890^4=16643^4
(74)
412^4+10850^4+11015^4+15160^4=16891^4
(75)
1845^4+2350^4+11810^4+15776^4=16893^4
(76)
6690^4+11050^4+11658^4+15375^4=17381^4
(77)
1220^4+8495^4+13060^4+15644^4=17519^4
(78)
950^4+6500^4+11896^4+16405^4=17521^4
(79)
1802^4+5450^4+12850^4+16215^4=17661^4
(80)
3220^4+3235^4+10660^4+17068^4=17693^4
(81)
1945^4+7256^4+9860^4+17320^4=17881^4
(82)
2760^4+8340^4+9423^4+17510^4=18077^4
(83)
5270^4+5898^4+13660^4+16805^4=18477^4
(84)
11410^4+12430^4+12668^4+15365^4=18701^4
(85)
610^4+8355^4+15906^4+16560^4=19483^4
(86)
4460^4+9305^4+13940^4+17726^4=19493^4
(87)
5370^4+12772^4+13440^4+17595^4=19871^4
(88)
780^4+3090^4+12702^4+19255^4=20111^4
(89)
1090^4+8975^4+11980^4+19244^4=20131^4
(90)
1880^4+9579^4+10030^4+19670^4=20253^4
(91)
1660^4+7550^4+12969^4+19480^4=20469^4
(92)
11801^4+12140^4+13690^4+18100^4=20699^4
(93)
8720^4+8855^4+13970^4+19142^4=20719^4
(94)
3362^4+12070^4+16525^4+17740^4=21013^4
(95)
5420^4+5950^4+13915^4+24802^4=25427^4
(96)
8545^4+12860^4+16260^4+34178^4=34803^4
(97)
1840^4+30690^4+41000^4+89929^4=91179^4
(98)

(Norrie 1911, Patterson 1942, Leech 1958, Brudno 1964, Lander et al. 1967, Rose and Brudno 1973; A. Stinchcombe, 私人通信, 2004 年 10 月 25 日)。Wroblewski 给出了更多解。

在 Jacobi 和 Madden (2008) 找到特殊情况的无限数量的解之前，尚不清楚是否存在参数解 (Guy 1994, p. 139)

A^4+B^4+C^4+D^4=(A+B+C+D)^4.
(99)

他们的解广泛使用了椭圆曲线（elliptic curve）理论和 Brudno (1964) 给出的特殊解 (955, 1770, 2634, 5400; 5491)，该解满足 955+1700-2364+5400=5491。

4.1.5 方程有无限多个解

A^4=B^4+C^4+D^4+E^4+F^4.
(100)

其中一些最小的解是

2^4+2^4+3^4+4^4+4^4=5^4
(101)
4^4+6^4+8^4+9^4+14^4=15^4
(102)
4^4+21^4+22^4+26^4+28^4=35^4
(103)
1^4+2^4+12^4+24^4+44^4=45^4
(104)
1^4+8^4+12^4+32^4+64^4=65^4
(105)
2^4+39^4+44^4+46^4+52^4=65^4
(106)
22^4+52^4+57^4+74^4+76^4=95^4
(107)
22^4+28^4+63^4+72^4+94^4=105^4
(108)

(Berndt 1994)。Berndt 和 Bhargava (1993) 以及 Berndt (1994, pp. 94-96) 给出了拉马努金（Ramanujan）对于任意 s、t、m 和 n 的解，

(8s^2+40st-24t^2)^4+(6s^2-44st-18t^2)^4+(14s^2-4st-42t^2)^4+(9s^2+27t^2)^4+(4s^2+12t^2)^4 =(15s^2+45t^2)^4,
(109)

和

(4m^2-12n^2)^4+(3m^2+9n^2)^4+(2m^2-12mn-6n^2)^4 +(4m^2+12n^2)^4+(2m^2+12mn-6n^2)^4=(5m^2+15n^2)^4.
(110)

Dickson (2005, p. 649) 也给出了这些解，Beiler (1966, p. 290) 给出了两个通用公式（formulas）。Fauquembergue (1898)、Haldeman (1904) 和 Martin (1910) 给出了其他解。使用恒等式，可以找到拉马努金给出的类似二次形式参数化

[ax^2+2(b+c)xy-3ay^2]^k+[bx^2-2(a+c)xy-3by^2]^k+[cx^2-2(a-b)xy-3cy^2]^k=(a^k+b^k+c^k)(x^2+3y^2)^k,
(111)

其中 c=a+b，对于 k=2 或 4，但这只是更通用恒等式的一个特例 (Piezas 2005)。然后，情况简化为找到 a^4+b^4+(a+b)^4=z 的解，其中 z 是若干个四次幂的和与差。例如，给定

4^4+15^4+50^4+50^4+100^4=103^4,
(112)

那么

(4x^2+12y^2)^4+(15x^2+45y^2)^4+(50x^2+300xy-150y^2)^4+(50x^2-300xy-150y^2)^4+(100x^2-300y^2)^4 =(103x^2+309y^2)^4.
(113)

类似地，给定恒等式和方程

2^4+4^4+6^4+6^4+6^4+7^4=9^4,
(114)

那么 4.1.6 方程有无限多个本原解。

4.2.2 方程的参数解

A^4+B^4=C^4+D^4
(115)

是已知的 (Euler 1802; Gérardin 1917; Guy 1994, pp. 140-141)，但尚不清楚是否存在“通用”解 (Hardy 1999, p. 21)。前几个本原解是

59^4+158^4=133^4+134^4=635318657
(116)
7^4+239^4=157^4+227^4=3262811042
(117)
193^4+292^4=256^4+257^4=8657437697
(118)
298^4+497^4=271^4+502^4=68899596497
(119)
514^4+359^4=103^4+542^4=86409838577
(120)
222^4+631^4=503^4+558^4=160961094577
(121)
76^4+1203^4=653^4+1176^4=2094447251857
(122)
997^4+1342^4=878^4+1381^4=4231525221377
(123)

(OEIS A003824; Richmond 1920; Dickson 1957, pp. 60-62; Leech 1957; Berndt 1994, p. 107; Ekl 1998 [有错别字]; Dickson 2005, pp. 644-647)，其中最小的解是欧拉给出的 (Hardy 1999, p. 21)。Lander et al. (1967) 给出了 25 个本原 4.2.2 解的列表。通用（但不完整）解由下式给出

x^4+y^4=u^4+v^4,
(124)

其中

x=a+b
(125)
y=c-d
(126)
u=a-b
(127)
v=c+d,
(128)

和

a=n(m^2+n^2)(-m^4+18m^2n^2-n^4)
(129)
b=2m(m^6+10m^4n^2+m^2n^4+4n^6)
(130)
c=2n(4m^6+m^4n^2+10m^2n^4+n^6)
(131)
d=m(m^2+n^2)(-m^4+18m^2n^2-n^4)
(132)

(Hardy and Wright 1979)。

4.2.3 方程的参数解

A^4+B^4=C^4+D^4+E^4
(133)

是已知的 (Gérardin 1910, Ferrari 1913)。最小的解是

3^4+5^4+8^4=7^4+7^4
(134)

(Lander et al. 1967)。

拉马努金给出了 4.2.4 方程

3^4+9^4=5^4+5^4+6^4+8^4.
(135)

拉马努金给出了 4.3.3 方程

2^4+4^4+7^4=3^4+6^4+6^4
(136)
3^4+7^4+8^4=1^4+2^4+9^4
(137)
6^4+9^4+12^4=2^4+2^4+13^4
(138)

(Berndt 1994, p. 101)。Martin (1896) 中可以找到类似的例子。Gérardin (1911) 给出了参数解。

拉马努金还给出了通用表达式

3^4+(2x^4-1)^4+(4x^5+x)^4=(4x^4+1)^4+(6x^4-3)^4+(4x^5-5x)^4
(139)

(Berndt 1994, p. 106)。Dickson (2005, pp. 653-655) 列举了几个给出 4.3.3 方程解的公式（formulas），Haldeman (1904) 给出了一个通用公式（formula）。

拉马努金给出了 4.3.4 恒等式

2^4+2^4+7^4=4^4+4^4+5^4+6^4
(140)
3^4+9^4+14^4=7^4+8^4+10^4+13^4
(141)
7^4+10^4+13^4=5^4+5^4+6^4+14^4
(142)

(Berndt 1994, p. 101)。Haldeman (1904) 给出了 4-2 和 4-3 方程的通用公式（formulas）。

拉马努金给出了

2(ab+ac+bc)^2=a^4+b^4+c^4
(143)
2(ab+ac+bc)^4=a^4(b-c)^4+b^4(c-a)^4+c^4(a-b)^4
(144)
2(ab+ac+bc)^6=(a^2b+b^2c+c^2a)^4+(ab^2+bc^2+ca^2)^4+(3abc)^4
(145)
2(ab+ac+bc)^8=(a^3+2abc)^4(b-c)^4+(b^3+2abc)^4(c-a)^4+(c^3+2abc)^4(a-b)^4,
(146)

其中

a+b+c=0
(147)

(Berndt 1994, pp. 96-97)。公式（Formula） (◇) 等价于费拉里恒等式（Ferrari's identity）

(a^2+2ac-2bc-b^2)^4+(b^2-2ab-2ac-c^2)^4+(c^2+2ab+2bc-a^2)^4=2(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc)^4.
(148)

巴尔加瓦定理（Bhargava's theorem）是一个通用恒等式，它将上述方程作为特例给出，并且可能是拉马努金进行推导的途径。拉马努金提出的另一个恒等式是

(a+b+c)^4+(b+c+d)^4+(a-d)^4 =(c+d+a)^4+(d+a+b)^4+(b-c)^4,
(149)

其中 a/b=c/d，并且 4 也可以替换为 2 (Ramanujan 1987, Hirschhorn 1998)。

V. Kyrtatas (私人通信，1997 年 6 月 19 日) 注意到 (a,b,c,d,e,f)=(3,25,38,7,20,39) 满足

(a^4+b^4+c^4)/(d^4+e^4+f^4)=(a+b+c)/(d+e+f)
(150)

并询问是否还有其他不同的整数解。其他解为 (285, 2964, 3249, 1769, 1952, 3721) 和 (185, 1184, 1369, 663, 858, 1521) (E. Clark, 私人通信, 2004 年 1 月 26 日) 以及 (5160, 11481, 16641, 3683, 12446, 16129), (7367, 11954, 19321, 2660, 15029, 17689) (14925, 24676, 39601, 7527, 29722, 37249), (7136, 42593, 49729, 2387, 44702, 47089) (A. Stinchcombe, 私人通信, 2004 年 11 月 19 日)。

另请参阅

巴尔加瓦定理, 四次幂数, 欧拉四次猜想, 福特定理, 多重次数方程, 华林问题

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参考文献

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以此引用

Piezas, Tito III 和 Weisstein, Eric W. "丢番图方程——四次幂。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DiophantineEquation4thPowers.html

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