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Bhargava 定理

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令函数 f(x) 的 n 次复合表示为 f^((n))(x)，使得 f^((0))(x)=x 且 f^((1))(x)=f(x)。将 f 和 g 的复合表示为 f degreesg(x)=f(g(x))，并定义

sumF(a,b,c)=F(a,b,c)+F(b,c,a)+F(c,a,b).
(1)

设

u=(a,b,c)
(2)
|u|=a+b+c
(3)
||u||=a^4+b^4+c^4,
(4)

且

f(u)=(a(b-c),b(c-a),c(a-b))
(5)
g(u)=(suma^2b,sumab^2,3abc).
(6)

则如果 |u|=0 (即，c=-a-b),

||f^((m)) degreesg^((n))(u)||=||g^((n)) degreesf^((m))(u)||
(7)
=2(ab+bc+ca)^(2^(m+1)3^n),
(8)

其中 m,n in {0,1,...} 且复合是根据分量进行的。

另请参阅

丢番图方程——四次幂, 福特定理

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Berndt, B. C. 拉马努金笔记本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, pp. 97-100, 1994.Bhargava, S. "关于拉马努金关于四次幂和的公式族。" Ganita 43, 63-67, 1992.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Bhargava 定理

请引用为

Weisstein, Eric W. "Bhargava 定理。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BhargavasTheorem.html

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