布朗运动

一个实值随机过程 是一个布朗运动，它从 开始，如果满足以下性质

1. .

2. 对于所有时间 ，增量 ，，...，，是独立随机变量。

3. 对于所有 ，，增量 是正态分布的，具有零期望值和方差 。

4. 函数 是连续几乎处处的。布朗运动 被称为标准的，如果 。

从上述标准很容易看出，布朗运动具有许多独特的自然不变性性质，包括尺度不变性和时间反演不变性。此外，任何布朗运动 满足大数定律，因此

几乎处处。此外，尽管乍一看表现不佳，但布朗运动对于所有值 都是 Hölder 连续几乎处处的。相反，任何布朗运动在任何地方都不可微几乎必然。

上述定义自然地扩展到获得更高维的布朗运动。更准确地说，给定独立的布朗运动 ，它们从 开始，可以定义一个随机过程 ，通过

这样的 被称为 维布朗运动，它从 开始。