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Yiu 圆

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YiuCircles

参考三角形 DeltaABC 的 Yiu A-圆是经过顶点 A 以及顶点 B 和 C 关于对边的反射的圆。Yiu B-圆和 C-圆的定义类似。

A-圆的圆心是

(-a^8+4b^2a^6+4c^2a^6-6b^4a^4-6c^4a^4-5b^2c^2a^4+4b^6a^2+4c^6a^2-b^2c^4a^2-b^4c^2a^2-b^8-c^8+2b^2c^6-2b^4c^4+2b^6c^2):2a^2b^3c^3cos(A-C):2a^2b^3c^3cos(A-B)
(1)

也可以写成

3a^2S_A^3-3S_AS_BS_C(3a^2+2S_A)-5S_A^2S_B^2-4S_B^2S_C^2-5S_C^2S_A^2:abc^2(S^2+S_CS_A):ab^2c(S^2+S_AS_B)
(2)

（P. 摩西，私人通讯，2005 年 1 月 31 日）。

其 A-半径为

R_A=(b^2c^2sqrt(S^2(OH^2+2S_A)+2S_AS_BS_C))/(S|b^2c^2-4S_A^2|)
(3)
=1/(|2cos(2A)+1|)sqrt((-a^6+3b^2a^4+3c^2a^4-3b^4a^2-3c^4a^2-3b^2c^2a^2+b^6+c^6-b^2c^4-b^4c^2)/(a^4-2b^2a^2-2c^2a^2+b^4+c^4-2b^2c^2)),
(4)

其中 S、S_A、S_B 和 S_C 是 康威三角形符号，O 是外心，H 是垂心（P. 摩西，私人通讯，2005 年 1 月 31 日）。

Yiu 圆相对于顶点的幂为

p_A=0
(5)
p_B=(2accos(A-C))/(1+2cos(2A))
(6)
=2c^2(S^2+S_CS_A)
(7)
p_C=(2abcos(A-B))/(1+2cos(2A))
(8)
=2b^2(S^2+S_AS_B).
(9)
YiuCirclesRadicalCenter

Yiu 圆相互交于一点，因此该点是它们的根心。它具有中心函数

alpha_(1157)=(a^6-3b^2a^4-3c^2a^4+3b^4a^2+3c^4a^2-b^2c^2a^2-b^6-c^6+b^2c^4+b^4c^2)/(cos(B-C)),
(10)

它是 Kimberling 中心 X_(1157) （科斯尼塔点 X_(54) 在外接圆中的反演）。

Yiu 圆没有根圆。

参见

反射, Yiu 圆, Yiu 三角形

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请引用为

Weisstein, Eric W. “Yiu 圆。”来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/YiuCircles.html

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