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q-Pi

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q-Pi

pi 的 q-模拟 可以通过在 q-阶乘 中设置 a=0 来定义

[a]_q!=1(1+q)(1+q+q^2)...(1+q+...+q^(a-1))
(1)

得到

1=sin_q^*(1/2pi)=(pi_q)/(([-1/2]_(q^2)!)^2q^(1/4)),
(2)

其中 sin_q^*z 是 Gosper 的 q-正弦，因此

pi_q=q^(1/4)([-1/2]_(q^2)!)^2
(3)
=1/2(1-q^2)theta_2theta_3
(4)
=1/4(1-q^2)theta_2^2(sqrt(q))
(5)
=(1-q^2)q^(1/4)product_(n=1)^(infty)((1-q^(2n))^2)/((1-q^(2n-1))^2)
(6)

(Gosper 2001年)。

它具有麦克劳林级数

pi_q=q^(-1/4)(1+2q+q^4-2q^5+q^6+2q^7-3q^8+2q^(10)-q^(12)+...)
(7)

(OEIS A144874)。

它与 Wallis 公式 (Gosper 2001年) 的 q-模拟 相关，并且具有特殊值

lim_(q->1^-)pi_q=pi.
(8)

pi_q 下的面积由下式给出

int_0^1pi_qdq=1.7249911260345...
(9)

(OEIS A144875)。

Gosper 开发了一种迭代算法，用于基于代数递推关系计算 pi_q

(4pi_(q^4))/(q^4+1)=((q^2+1)^2pi_q^2)/(pi_(q^2))-((q^4+1)pi_(q^2)^2)/(pi_(q^4)).
(10)

另请参阅

Pi, q-模拟, q-余弦, q-指数函数, q-阶乘, q-正弦, Wallis 公式

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参考文献

Sloane, N. J. A. 序列 A144874 和 A144875，出自“整数序列在线百科全书”。Gosper, R. W. “q-三角学的实验与发现。” 出自符号计算、数论、特殊函数、物理学和组合数学。1999 年 11 月 11 日至 13 日在佛罗里达大学盖恩斯维尔举行的会议论文集 (F. G. Garvan 和 M. E. H. Ismail 编辑)。荷兰多德雷赫特：Kluwer 出版社，第 79-105 页，2001 年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

q-Pi

请引用为

Weisstein, Eric W. “q-Pi。” 出自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-Pi.html

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